关系与等价关系
作为下面定义的前置，我们引入集合的笛卡尔积
定义2.1 若 \(A,B\) 为集合，则我们定义它们之间的笛卡尔积为
\[\{(x,y)|x\in A,y\in B\} \]记作 \(A\times B\) .
下面我们定义关系
定义2.2 对于集合 \(A,B\) ，我们称 \(R\subseteq A\times B\) 为从 \(A\) 到 \(B\) 的一个关系。若 \((x,y)\in R\) ，记作 \(xRy\) .特别的，若 \(A=B\) ，则称 \(R\) 是 \(A\) 上的一个二元关系。
我们注意到，数的相等，图形的全等与相似等关系都具有一定的相似性，我们称它们为等价关系
定义2.3 我们称 \(A\) 上的一个二元关系 \(R\) 为一个等价关系，当且仅当它满足：
（自反性）\(\forall x\in A,xRx\) ;
（传递性）\(\forall x,y,z\in A,\) 若 \(xRy,yRz,\) 则 \(xRz\) ;
（对称性）\(\forall x,y\in A,\) 若\(xRy,\) 则\(yRx\) .
拥有了等价关系，我们就可以在一个集合中将所有等价的元素分类。我们称这样分类后的集合为等价类
定义2.4 对于 \(x\in A\) 我们称 \(x\) 关于 \(A\) 上等价关系 \(R\) 的等价类为
\[\{y|xRy,y\in A\} \]记作 \([x]\) .
整数集
在上一篇笔记中，我们已经定义了自然数集 \(\mathbb{N}\) .现在令 \(\hat{\text{Z}} =\mathbb{N}\times\mathbb{N}\) ，在这个集合中，每个元素都是一个形如 \((a,b)\) 的二元数组，例如 \((2,1),(3,5),(10,100)\) 。此时我们定义 \(\hat{\rm{Z}}\) 中两个元素的相等：
\[(a,b)=(c,d)\Leftrightarrow a+d=b+c \]接下来，我们需要证明这个关系确实是等价关系。
命题2.1 \(\hat{\rm{Z}}\) 上的相等关系是等价关系。
证明：首先证明自反性,由
\[a+b=b+a \]得到
\[(a,b)=(a,b) \]接着证明传递性。若
\[(a,b)=(c,d),(c,d)=(e,f) \]得到
\[\begin{align} a+d=b+c\\ c+f=d+e \end{align} \]将 \((1)\) 式与 \((2)\) 式相加，得到
\[\begin{align} a+d+c+f&=b+c+d+e\nonumber\\ a+f&=b+e\nonumber\\ (a,b)&=(e,f)\nonumber \end{align} \]这样证明了传递性。最后，我们来证明对称性,若
\[(a,b)=(c,d)\\ a+d=b+c \]由交换律得
\[c+b=d+a\\ (c,d)=(a,b) \]这样就完成了证明。 \(\Box\)
接下来可以定义 \(\hat{\rm{Z}}\) 中的加法和乘法
定义2.5
\[(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\\ (a,b)\times (c,d)=(ac+bd,ad+bc) \]
下面证明这些定义是良定义的。
证明：若 \((a,b)=(a^{\prime},b^{\prime})\ (c,d)=(c^{\prime},d^{\prime})\) ，对于加法，只需证明
\[(a+c,b+d)=(a^{\prime}+c^{\prime},b^{\prime}+d^{\prime}) \]由定义
\[\begin{align}a+b^{\prime}=b+a^{\prime}\\ c+d^{\prime}=d+c^{\prime}\end{align} \]得到
\[\begin{align}\nonumber a+b^{\prime}+c+d^{\prime}&=b+a^{\prime}+d+c^{\prime}\\\nonumber a+c+b^{\prime}+d^{\prime}&=b+d+a^{\prime}+c^{\prime}\\\nonumber (a+c,b+d)&=(a^{\prime}+c^{\prime},b^{\prime}+d^{\prime}) \end{align} \]对于乘法，由 \((3)\ (4)\) ，得
\[\begin{align}\nonumber c(a+b^{\prime})+d(a^{\prime}+b)&=c(b+a^{\prime})+d(b+a^{\prime})\\\nonumber ac+bd+a^{\prime}d+b^{\prime}c&=ad+bc+a^{\prime}c+b^{\prime}d\\\nonumber (ac+bd,ad+bc)&=(a^{\prime}c+b^{\prime}d,a^{\prime}d+b^{\prime}c)\\\nonumber (a,b)\times(c,d)&=(a^{\prime},b^{\prime})\times(c,d)\end{align} \]同理可得
\[(a,b)\times(c,d)=(a,b)\times(c^{\prime},d^{\prime}) \]由等价关系的传递性，得
\[(a,b)\times(c,d)=(a^{\prime},b^{\prime})\times(c^{\prime},d^{\prime}) \]这样就证明了加法与乘法的良定义性。 \(\Box\)
现在我们已经证明了 \(\hat{\rm{Z}}\) 上的相等是一个等价关系。下面我们记关于这个等价关系的等价类为 \([x]\) .这样我们就可以定义整数集了。
定义2.6 整数集 \(\mathbb{Z}\) 为 \(\hat{\rm{Z}}\) 上等价类的集合，即
\[\mathbb{Z}=\{[x]|x\in\hat{\rm{Z}}\} \]其中，我们记 \([(0,0)],[(1,0)],[(2,0)]\cdots\) 为 \(1,2,3\cdots\) , \([0,1],[0,2],[0,3]\cdots\) 为 \(-1,-2,-3\cdots\)
定义2.7
\[\begin{align}\nonumber [x]+[y]=[x+y] \\\nonumber [x]\times[y]=[x\times y] \end{align} \]
由前文的讨论知道这种定义是良定义的。现在我们可以定义整数集上的减法
定义2.7
\[x-y=x+(-1)y \]
最后，我们定义数的大小
定义2.8 我们称 \(x>y\) ,当且仅当 \(\exists n\in\mathbb{N}\) 且 \(n\ne0\) ，使得 \((n,0)=x-y\) .特别的，我们称大于 \(0\) 的数为正数，小于 \(0\) 的数为负数。
整数集的一些基本性质
对整数集及其运算做了定义后，我们可以总结一些整数的性质。这些性质可以由定义讨论得到。
定理2.1 整数具有三歧性，即若 \(n\in\mathbb{Z}\) ，则 \(n\) 在
(1) \(n=0\) ;
(2) \(n>0\) ;
(3) \(n<0\) .
三种情况中必有且仅有一种情况为真。
定理2.2 (整数的代数性质) 整数具有以下的代数性质
(1) \(x+y=y+x\) ;
(2) \((x+y)+z=x+(y+z)\) ;
(3) \(x+0=0+x=x\) ;
(4) \(x+(-x)=(-x)+x=0\) ;
(5) \(xy=yx\) ;
(6) \(x1=1x=x\) ;
(7) \(x(y+z)=xy+xz\) ;
(8) \((x+y)z=xz+yz\) .
标签：prime,nonumber,定义,align,笔记,times,数集,数学分析,等价关系 From： https://www.cnblogs.com/XingMath/p/16980780.html定理2.3 (序的性质) 序具有以下性质
(1) \(a>b\) 当且仅当 \(a-b>0\) ;
(2) 若 \(a>b\) ,则\(a+c=b+c\) ;
(3) 若 \(a>b,c>0\) ，则 \(ac>bc\) ;
(4) 若 \(a>b\) ，则 \(-a<-b\) ;
(5) 若 \(a>b,b>c\) ，则 \(a>c\) ；
(6) 若 \(a>b,a=b,a<b\) 三种情况有且仅有一种为真。