https://oi-wiki.org/math/linear-algebra/char-poly/OI-wiki写的很好。这里只是一些注解。使用高斯消元进行相似变换要想将\(A\)相似变换成上Hessenberg矩阵（上海森堡矩阵），首先需要知道初等行变换对应的矩阵\(P\)的逆长什么样，以及它右乘\(A\)会使\(A\)变成什么，这样才

1.[ARC173F]SelectandSplit分裂这个过程感觉很不自然，考虑倒过来做合并。经过简单的观察，可以发现一个集合的属性只和在\([1,A]\)内的元素个数和\([A+1,A+B]\)内的元素个数有关，分别设其为\(a_i,b_i\)。合并两个点的方案数是\(a_ib_j+a_jb_i\)。合并两个集合\(S,T\)的

MyBlogs[ARC173F]SelectandSplit在Kevin题解的基础上解释了一下。分裂这个过程感觉很不自然，考虑倒过来做合并。经过简单的观察，可以发现一个集合的属性只和在\([1,A]\)内的元素个数和\([A+1,A+B]\)内的元素个数有关，分别设其为\(a_i,b_i\)。合并两个点的方案数是\(a

2.N阶行列式数域K\textbf{K}K上的二元方程组{

风尘不能蒙蔽玫瑰花园的风采，乌云倒影也不会改变黑的清澈——简媜射影几何前置模组我们首先在原版高中数学中加一些模组：定义理想实数集$\overline{\mathbbR}=\mathbbR\cup{\infty}$切点弦如上图，TR就是圆的一个切点弦根据三角形射影定理可以知道\(|OT|^2=|OF|\cd

前置芝士：平方和公式：\(1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)概念与计数：基本计数原理：分类计算加法原理，分布计算乘法原理。简单容斥与摩根定理：\(\begin{vmatrix}A\cupB\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}B\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}A

三点定圆已知三个不在同一直线上的点\((x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)\)。请确定过此三点的圆的圆心。设圆心为\((x,y)\)，半径为\(r\)，则圆的方程为\[(x_i-x)^2+(y_i-y)^2=r^2\]展开得到\[x_i^2-2x_ix+x^2+y_i^2-2y_iy+y^2=r^2\]我们并不需要现在得知\(r\)的具体值

定义行列式（Determinant）是对\(n\)阶方阵\(A\)定义的，是一个标量。\(A\)的\(n\)阶行列式\(\operatorname{det}(A)\)或\(|A|\)定义如下：\[\operatorname{det}(A)=\sum_p(-1)^{\operatorname{sgn}(p)}\prod_{i}A[i][p_i]\]这里将排列的奇偶性定义为了\(\operatorname{sgn

行列式基础概念\(n\)阶行列式\[\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\\\end{vmatrix}\]完全展开式$\sum_{

目录常数变易法求解一阶非齐次线性微分方程常数变易法求解二阶非齐次线性微分方程例题常数变易法求解一阶非齐次线性微分方程对于一阶非齐次线性微分方程\[y'+p(x)y=q(x)\]先用分离变量法求解对应的齐次方程\[\begin{aligned}&y'+p(x)y=0\\\Rightarrow&y=Ce

前置知识\(\sum\)为累加符号，\(\prod\)为累乘符号。上三角矩阵指只有对角线及其右上方有数值其余都是\(0\)的矩阵。如果一个矩阵的对角线全部为\(1\)那么这个矩阵为单位矩阵记作\(I\)。对于矩阵\(A_{n,m}\)和矩阵\(B_{m,n}\)满足\(A_{i,j}=B_{j,i}\)记作\(A=B^T

LGV引理行列式引出来的有趣的东西，是与图论的交界处。LGV引理大致内容为：对于一张有向无环图，每条边上都有一个权值\(w(e)\)，记\(weight(P)\)表示路径\(P\)上所有边的权值乘积，对于一个起点组成的集合\(A\)和终点组成的集合\(B\)，满足\(|A|=|B|\)，记\(e(i,j)\)表示所有\(

线性代数基础煎蛋的东西不再赘述。\(n\)个向量，若存在向量能被其他向量线性表示，则称这些向量线性相关，否则线性无关。矩阵的行秩，将矩阵看成若干个行向量，从这些向量中选取尽可能多的向量满足这些向量线性无关，选取的个数\(k\)即为矩阵的秩。矩阵的列秩同理，一般来说，矩阵的秩默认

LGV引理行列式引出来的有趣的东西，是与图论的交界处。LGV引理大致内容为：对于一张有向无环图，每条边上都有一个权值\(w(e)\)，记\(weight(P)\)表示路径\(P\)上所有边的权值乘积，对于一个起点组成的集合\(A\)和终点组成的集合\(B\)，满足\(|A|=|B|\)，记\(e(i,j)\)表示所有\(

[T050101]设\(A\)为\(n\timesn\)常数矩阵,\(\Phi(t)\)是方程组\(X'=AX\)的标准基解矩阵\((\Phi(0)=E)\),证明\(\Phi(t)\Phi^{-1}(t_0)=\Phi(t-t_0)\),其中\(t_0\)是常数.    证由题设可知\(\Phi'(t)=A\Phi(t)\),将\(t\)换为\(t-t_0\),则\(\Phi

不会线性代数。行列式定义对一个\(n\timesn\)的矩阵\(A\)，其\(n\)阶行列式写作\(\mathrm{det}(A)\)或\(|A|\)，定义为\[\mathrm{det}(A)=|A|=\sum_{p}(-1)^{\tau(p)}\prod_{i=1}^{n}a_{i,p_i}\]所有的\(p\)形成\(1\)到\(n\)的全排列，\(\tau(p)\)表示排列\(p\)

实际上，这是两个向量的叉积已经是其他题解说烂了的。这里只是给出一个容易记忆\(dim\le3\)的行列式的值的办法。我们以\(3\)维行列式为例子，假设为\[\begin{vmatrix}a&b&c\\i&j&k\\o&p&q\end{vmatrix}\]我们有一个神奇的方法来记忆这个行列式的求值。首

\[点不等于：\quad(c+d)\cdot2\neq1\tag{01}\]\[恒等于取模：\quad1\equiv1\quad5\bmod2\equiv1\tag{02}\]\[公式：\quadf(x)=x+1\tag{03}\]\[上下标：\quadg^2(x)=x_1^2+2\tag{04}\]\[根号分式：\quad\sqrt{2}+\sqrt{x^{\frac{x}{

目录仿射坐标系不共面向量基向量仿射标架（仿射坐标系）直角标架（直角坐标系）向量共线（共面）两向量共线三向量共面应用仿射标架下的三点共线条件线段的定比分点空间直线和平面仿射坐标系中的平面两平面的位置关系三平面交于一点参考仿射坐标系不共面向量定理1空间中任意给定三个不共

目录向量的外积定义几何意义外积的运算规律计算向量的外积外积的坐标计算外积的坐标表示向量的混合积定义几何意义常用性质计算向量的混合积混合积的坐标计算三向量（或四点）共面条件参考向量的外积定义定义12个向量\(\bm{a},\bm{b}\)的外积（记作\(\bm{a}\times\bm{b}\)）仍然是一

目录方阵的特征值与特征向量特征方程特征子空间小结参考方阵的特征值与特征向量特征方程定义：设\(A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}\)是n阶方阵，若有λ和非零向量x，使得\[\tag{1}Ax=λx\]成立，则称λ为方阵A的特征值，非零向量x为A的属于（或对应于）特征值λ的特征向量。式(1)

线代学习笔记1.向量部分张成空间：就是向量构成的空间线性相关：一个向量，他的存在与否不会影响张成空间，则称为线性相关。线性无关：就是缺一不可。基：向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集。矩阵乘法：以前学矩阵快速幂什么的时候以为自己懂了，实际上没弄清楚本质。这

前置知识树剖传送门广义矩乘考虑矩乘大概是一个\(\suma\timesb\)的形式，那么考虑把它换成其他东西比如\(\proda\&b\)或者\(\maxa+b\)，其实发现它们都可以用矩乘的理论优化，从另一个角度上讲floyd也是矩乘。定义数据结构维护带修改的dp，最常用的大概是线段树。当然

文章目录快速检索矩阵语法示例上标下标求和分数希腊字母语法示例大括号算式标签字母头上横线字母头上加^号字母头上加波浪线字母头上加点输入中括号大于等于小于等于...字母上添加波浪线向量积分符号举例波浪线整数、实数、自然数子集、真子集、空集箭头空格、缩进加粗绝对值上括

目录0x00行列式0x01定义0x02基本性质0x10高斯消元法0x11算法介绍0x12矩阵求逆0x13求行列式0x20矩阵树定理0x21算法介绍0x22有向图生成树个数0x23边权积的和0x24边权和的和【咕咕咕】0x25例题P6178【模板】Matrix-Tree定理P3317[SDOI2014]重建P4336[SHOI2016]黑