复合函数的前向微分与反向自动微分计算关于首次发表日期：2024-09-13参考：https://rufflewind.com/2016-12-30/reverse-mode-automatic-differentiationCalculusEarlyTranscendentals9e-JamesStewart(2020)https://en.wikipedia.org/wiki/Automatic_differentiation

前言万字长文！这里有我的一些思考和领会，网络上的教程都太潦草了。并且我发现了新的反演公式！概述二项式反演用于转化两个具有特殊关系的函数\(f\)和\(g\)，从而方便求解问题。一般来说，直接计算恰好满足\(n\)个限制的答案不好求，但是可以计算出“至少”/“至多”满足\(n\)

概念函数\(W(x)\)若在区间\((a,b)\)可积，且\(W(x)\ge0\)，则可以作为权函数。对于一个多项式的序列\(f_i\)和权函数\(W(x)\)，定义内积：\(\langlef_m,f_n\rangle=\int_{a}^{b}f_m(x)f_n(x)W(x)dx\)若\(n\not=m\)，\(\langlef_m,f_n\rangle=0\)。则这些多项式被称为正交

状态数是\(O(nm^2)\)的DP很好想，就是\(dp_{i,l,r}\)表示第\(i\)次的区间为\([l,r]\)的方案数。但是这个状态数就已经死了，而题目又提示\(n\timesm\leq1e7\)，说明状态只能形如\(dp_{i,j}\)。这时就会想到一个简陋的打补丁方式：设\(f_{i,l},g_{i,r}\)分别表示第\(i\)

缅怀zxc

大部分是上课做的笔记，包含我自己的一些思考的推导，希望可以帮助到大家！（更好的阅读体验）洛谷专栏查看：点击此处\(fib_{n+k}=fib_n\timesfib_{k+1}+fib_{n-1}\timesfib_{k}\)经典模型：一段台阶有\(n\)阶，从第\(\mathbf{1}\)阶开始，每次可以向上跳\(1\)阶或\(2\)阶，跳到第

组合\[\begin{aligned}\sum_{j={l_2}}^{r_2}\sum_{i={l_1}}^{r_1}\binom{i+j}{j}&=\sum_{j={l_2}}^{r_2}\sum_{i=l_1+j}^{r_1+j}\binom{i}{j}\\&=\sum_{j={l_2}}^{r_2}(\binom{r_1+j+1}{j+1}-\binom{l_1+j}{j+1})\\&=\sum_{j=0}^{r_2}(\binom{

如果STL容器中的元素是Eigen库数据结构，例如这里定义一个vector容器，元素是Matrix4d,如下所示：vector<Eigen::Matrix4d>这个错误也是和上述一样的提示，编译不会出错，只是在运行的时候出错，只有在运行的时候出错，解决的方法很简单，定义改成下面的方式:vector<Eigen::Matrix4d,Eigen::al

遇到一道题，转化后长这样：Statement给出\(n(\le10^{10})\)，计算：\[n+\sum_{i=0}^{n-1}i\cdot2^{n-i-1}\]多组数据，答案对\(10^9+7\)取模。Solution当时看数据范围以为要用某种根号时间来计算，就一直想不出来，交了暴力就走了之后打表发现\(Ans(n)=2^n-1\)。。。知道结论后

二项式反演引入错排问题：\(n\)个人排列。第\(i\)个人不能在位置\(i\)，求合法排列数。钦定\(k\)个人在自己位置上：\[\sum_{k=0}^n(-1)^k\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(n-k)!\]定义\(f(n)\)为\(n\)个人的排列数，\(g(n)\)为\(n\)个人的错排数。\[\begin{ali

目录引入正题延伸引入首先有一个广为人知的结论：\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]那么，如何求\((a+b)^3\)呢？手算，如下：\[\begin{aligned}(a+b)^3&=(a+b)\times(a+b)^2\\&=(a+b)\times(a^2+2ab+b^2)\\&=[a\times(a^2+2ab+b^2)]+[b\times(a^2+2ab+b^2)]\\&=(a^3+2a^2b+ab^

Statement给出\(k,p,L\)，数序列\(a\)，满足如下条件：\(1\lea_i\lek\)\(\sum_ia_i=L\)\(\nexistsi,a_i\gep\landa_{i+1}\gep\)答案对\(20201114\)取模，\(p\lek\le1000,L\le10^{18}\).Solution30pts注意到可以dp，记\(f(i,0/1)\)为凑出\(i\)的方案

用来构造一个多项式来近似一个函数\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\]大概就是用\(n\)阶导数来拟合一下。严谨推导：假设\(f(x)\)在点\(x_0\)的某邻域\(U(x_0)\)能近似表达为\(g_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n=

推式子前言：做了\(6\)个小时，但是全程自己推式子，写程序，值得写一篇文章纪念。不难发现：\[ans2=\dfrac1{r-l+1}\sum_{n=l}^r{fib_n\choosek}\\ans3=\dfrac1{r-l+1}\sum_{n=l}^r{g_n\choosek}\\其中g_n=\left\{\begin{aligned}&0&&2\not|n\\&3g_{n-2}+2\sum_{i=1}^{

快速傅里叶变换前言关于此算法，应用广泛。但是在OI算法竞赛中，我们只关注它“加速多项式乘法”这一用途。本文适用于未接触过此算法的初学者。对于本文用词不当、概念错误等问题，请发布在讨论区，我看到会及时修改，力争全文的每一句话都可以被引用而无误。由于本文在书写之初只

一个蒟蒻对简单距离的简单理解:呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃,写的简单粗暴,如有不对的,欢迎纠正神马是距离?在数学中，距离是泛函分析中最基本的概念之一。它所定义的距离空间连接了拓扑空间与赋范线性空间等其他空间，是学习泛

预处理部分\[\max(a[i,i+2^k-1])=\max\left\{\begin{aligned}\max&(a[i,i+2^{k-1}-1])\\\max&(a[i+2^{k-1},i+2^{k-1}+2^{k-1}-1])\end{aligned}\right.=\left\{\begin{aligned}\max&(a[i,i+2^{k-1}-1])\\\max&(a[i+2^{k-1},i+2^k-

Motivation&Abs近年来，大语言模型在视觉方面取得了极大的进步，但其如何完成定位任务（如wordgrounding等）仍然不清楚。本文旨在设计一种模型能够将一系列点/边界框作为输入或者输出。当模型接受定位信息作为输入时，可以进行以定位为condition的captioning。当生成位置作为输出时，模型

基础知识一、加法原理完成某个工作有\(n\)类办法，第\(i\)类办法有\(a_i\)种，则完成此工作的方案数有\(\sum\limits_{i=1}^na_i\)种。二、乘法原理完成某个工作有\(n\)个步骤，第\(i\)个步骤有\(b_i\)种，则完成此工作的方案数有\(\prod\limits_{i=1}^nb_i\)种。

calcbysmallbasic前言拜谢smallbasic，出的神题，故写题解以记之。题解考虑各个数都在各自的范围内随机取值，并且可以是实数，这就很困难。我们可以将其拆开，得：设\(X=\sum\lfloorx_i\rfloor,Y=\lfloor\sum(x_i)\rfloor\)。\[(X+Y)^k=\sum_{i=0}^k\dbino

题目链接P4449于神之怒加强版题目大意：求\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)^k\]\(数据范围n,m\leq5e6\)\(二话不说，先开导式子(假定n<m)：\)\begin{aligned}ans&=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)^k\\\end{aligned}\[先套路地枚举d=gcd(i,j)\]\begin{align

问题定义由于词级中文NER存在第三方解析器分割的边界错误，因此考虑将字符级NER作为默认设置。使用'BMES'标记方案进行字符级NER，将标记表述为序列标记问题。即，对于句子\(s={c_1,...,c_n}\)中的每个字符\(c_i\)，使用标签集中的标签进行标记\(L={B,M,E,S,O}\)。O：非实体元素B：实

今天模拟赛T4是个极其恶心的东西，用到了许多高中数学知识，md，引入前置知识。向量定义顾名思义，向量就是有方向的量，在平面直角坐标系上可以用\((a,b)\)表示，图如下：图像上即为由\(A\)指向\(B\)的一条向量。投影投影不好解释，拿图吧。\(AC\)在\(AB\)上的投影就是\(AD\)！！刚学的时候

题面考虑这样的匹配问题，可以想如何确定第一次匹配，这样可以不重不漏地计数。考虑dp的时候同时维护有几个括号没有匹配，匹配到\(s\)的第几位，所以令\(f(i,j,k)\)表示dp到（要计数的序列的）第\(i\)个字符，有\(j\)个左括号没有匹配，匹配到\(s\)的第\(k\)位。转移很容易，考

组合数学基本概念\(a^{\underlinem}\)表示\(a\)的\(m\)次下降幂。\(a^{\overlinem}\)表示\(a\)的\(m\)次上升幂。递推式\[{n\choosem}={n-1\choosem}+{n-1\choosem-1}\\\]证明：从组合意义上推导，在n个人中选m个相当于单独考虑最后一人，若他要选，则为