概念
函数\(W(x)\)若在区间\((a, b)\)可积，且\(W(x)\ge 0\)，则可以作为权函数。
对于一个多项式的序列\(f_i\)和权函数\(W(x)\)，定义内积：\(\langle f_m, f_n\rangle = \int_{a}^{b} f_m(x) f_n(x) W(x) dx\)
若\(n\not= m\)，\(\langle f_m, f_n \rangle = 0\)。则这些多项式被称为正交多项式（Orthogonal Polynomials）。
若\(f_i\)除了正交之外，还有\(\langle f_m, f_n \rangle = 1\)的话，则称为规范正交多项式。
例子
若权函数为\(1\)，区间为\((-1, 1)\)，并且\(f_0(x)=1\)，对应的正交多项式有：
\[\begin{aligned} f_1(x) &= x \\ f_2(x) &= \frac{3x^{2}-1}{2} \\ f_3(x) &= \frac{5x^{3}-3x}{2} \\ f_4(x) &= \frac{35x^{4}-30x^{2}+3}{8} \\ \dots \end{aligned} \]它们被称为勒让德多项式。
对于任意向量空间的基，Gram-Schmidt 正交化可以求出一个正交基。对于多项式空间的基，正交化的结果便是勒让德多项式。
性质
递归方程
\[\begin{aligned} & f_{n+1} = (a_n + xb_n) f_n - c_n f_{n-1} \\ \text{where } & b_n = \frac{k_{n+1}}{k_n} \\ & a_n = b_n (\frac{k'_{n+1}}{k_{n+1}} - \frac{k'_{n}}{k_{n}}) \\ & c_n = b_n (\frac{k_{n-1}h_{n}}{k_{n}h_{n-1}}) \\ & h_n = \langle f_n, f_n \rangle \end{aligned} \]实根
所有正交多项式系中的正交多项式都有\(n\)个实根，这些根是相异的并且在正交区间之内。
奇偶性
若\(W(x)\)为偶函数，且正交区间为\((-a, a)\)，则由\(f_n(-x) = (-1)^{n}f_n(x)\).