多项式与生成函数

1 普通生成函数

1.1 定义

\(F(x)=\sum_{n\geq0}a_nx^n\)。

例如：

• 序列 \(<1,2,3>\) 的生成函数为 \(1+2x+3x^2\)；
• 序列 \(<1,2,4,\dots>\) 的生成函数为 \(\sum_{n\geq}2^nx^n\)。

1.2 加减运算

\(F(x)\pm G(x)=\sum_{n\geq0}(a_n+b_n)x^n\)。

即 \(F(x)\pm G(x)\) 是序列 \(<a_n+b_n>\) 的生成函数。

1.3 乘法运算（卷积）

\(F(x)G(x)=\sum_{i\geq0}a_ix^i\sum_{j\geq0}b_jx^j=\sum_{n\geq0}x^n\sum_{i=0}^n a_ib_{n-i}\)。

即 \(F(x)G(x)\) 为序列 \(\sum_{i=0}^na_ib_{n-i}\) 的生成函数。

2 指数生成函数

2.1 定义

\(F(x)=\sum_{n\geq0}a_n\frac{x^n}{n!}\)。

例如：

• 序列 \(<1,1,1,\dots>\) 的指数生成函数为 \(F(x)=\sum_{n\geq0}\frac{x^n}{n!}=e^x\)。
• 序列 \(<1,p,p^2,\dots>\) 的指数生成函数为 \(F(x)=\sum_{n\geq0}p^n\frac{x^n}{n!}=e^{px}\)。

2.2 加减运算

\(F(x)+G(x)=\sum_{n\geq0}(a_n+b_n)\frac{x^n}{n!}\)。

即 \(F(x)+G(x)\) 是序列 \(<a_n+b_n>\) 的生成函数。

2.3 乘法运算

\(F(x)G(x)=\sum_{i\geq0}a_i\frac{x^i}{i!}\sum_{j\geq0}a_j\frac{x^j}{j!}=\sum_{n\geq0}x^n\sum_{i=0}^n\frac{a_ib_{n-i}}{i!(n-i)!}=\sum_{n\geq0}\frac{x^n}{n!}\sum_{i=0}^{n}C_n^ia_ib_{n-i}\)。

即 \(F(x)G(x)\) 是序列 \(<C_n^ia_ib_{n-i}>\) 的指数生成函数。

3 生成函数的应用

3.1 泰勒展开式

• \(\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^n\)；

• \(\frac{1}{1-x^k}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{nk}\)；

• \(\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}\)，本式可由 (1) 式两边求导得到

• \(e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\);

• \(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}=\sum_{i=0}^nx^i\)。

3.2 广义二项式定理

\(\frac{1}{(1-x)^n}=\sum_{i=0}^{\infty}C_{n+i-1}^i x^i\)。