https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_ring
https://zhuanlan.zhihu.com/p/419266064
这篇知乎文章讲的比较透彻，但是不易理解，可以结合以下视频学习。
无尽沙砾大佬的视频：3-6-多项式环-4_哔哩哔哩_bilibili ~
3-6-多项式环-8_哔哩哔哩_bilibili顾沛老师的视频：30.多项式环1_哔哩哔哩_bilibili
本文主要是简化了知乎文章的叙述，优化了公式的显示效果，便于自己理解
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背景
以往认知中的多项式是函数形式的，且定义在数域上。如果 \(\mathbb{P}\) 是 一个数域，那么 \(\mathbb{P}\) 上的一元多项式环 \(\mathbb{P}[x]\) 是由形如
\[a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0, \quad n \geqslant 0, \quad a_i \in \mathbb{P}, \quad i=0,1, \ldots, n \]的元素组成的集合。集合 \(\mathbb{P}[x]\) 上两个元素 \(a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0, b_m x^m+b_{m-1} x^{m-1}+\cdots+b_1 x+b_0\)（不妨设 \(m \geqslant n\)）相等当且仅当对任何 \(0 \leqslant i \leqslant m, a_i=b_i\)（这里规定，如果 \(k>n\)，则 \(a_k=0\)）。而环 \(\mathbb{P}[x]\) 的加法就是合并同类项，乘法是展开相乘再合并同类项。
但是实际上多项式可以推广到一般环上，这样的定义会出问题。例如 \(x\) 究竟是什么东西，取值是什么，它可能都不需要取自数域 \(\mathbb{P}\)。所以必须更严格的给出 \(x\) 的定义，其实就是后面所谓的超越元（不定元）。
\(R\) 上添加 \(u\) 形成的环 \(R[u]\)
为了和知乎大佬、顾沛老师的记号统一，用 \(u\) 来表示之前认知中的 \(x\)，也就是自变量。
多项式的系数是定义在一个环 \(R\) 上的，若 \(R\) 和 \(u\) 要组成多项式运算，则要求他们的运算结果在一个更大的环 \(R[u]\) 上，且要求这是包含 \(R\cup \{u\}\) 最小的环。
这里有一个更大的环 \(\widetilde R\)，它包含了 \(R,u,R[u]\)，至于为什么有这个环笔者也不太清楚
标签：mathbb,end,FHE,多项式,sum,笔记,aligned,ldots From： https://www.cnblogs.com/ailanxier/p/16867184.html