定义
$\binom{n}{k} $ 表示从n个数中无序选出k个数的方案数。
根据定义，有 \(\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)
恒等式
\[{\Large \begin{aligned} & \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} \ 对称\\ & \binom{n}{k}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1} \ 吸取\\ & \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k} \ 加法\\ & \binom{n}{k}=(-1)^k\binom{k-n-1}{k} \ 上指标反转\\ & \binom{r}{m}\binom{m}{k}=\binom{r}{k}\binom{r-k}{m-k} \ 三项式版恒等式 \end{aligned} } \]上述基本的恒等式一般都是直接拆开组合数后证明。
特别的恒等式
二项式定理：
\[{\Large \begin{aligned} & 对于 ( n \in \mathbb{N} ) 时，\\ & (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \ 普通二项式定理\\ & x=y时，有特殊情况\sum_k\binom{n}{k}=2^n \\ & 对于 ( n \in \mathbb{R} )，( \left|\frac{x}{y}\right| < 1 ) 时，\\ & (x + y)^n = \sum_{k=0}^{+\infty} \binom{n}{k} x^k y^{n-k} \ 广义二项式定理 \end{aligned} } \]上指标求和：
\[{\Large \begin{aligned} & \sum _{0\le k \le n} \binom{k}{m}=\binom{n+1}{m+1} \end{aligned} } \]平行求和：
\[{\Large \begin{aligned} & \sum _{k=0}^m \binom{n+k}{k} =\binom{n+m+1}{m} \\ \end{aligned} } \]交错和：
\[{\Large \begin{aligned} & \sum _{k=0}^m(-1)^k\binom{n}{k} =(-1)^m\binom{n-1}{m},m\in \mathbb{Z} \end{aligned} } \]范德蒙德恒等式：
\[{\Large \sum_{-q\le k\le l} \binom{l-k}{m} \binom{q+k}{n} = \binom{l+q+1}{m+n+1}} \]范德蒙德卷积：
\[{\Large \begin{aligned} & \sum _{k} \binom{r}{k}\binom{s}{n-k} =\binom{r+s}{n} \end{aligned} } \]上述略显复杂的恒等式基本都需要基本恒等式去证明，也有着更为重要的应用。
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