简单写写，如有不对请大佬指正。
排列：
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符号: \(P_{m}^{n}\) 或 \(A_{m}^{n}\)
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意义：从 \(m\) 个物品中有序地取出 \(n\) 个
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公式：\(P_{m}^n=\frac{n!}{(n-m)!}\)
组合:
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符号：\(C_{m}^{n}或\left(_{n}^{m}\right)\)
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意义：从 \(m\) 个物品中无序地取出 \(n\) 个
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公式：\(C_{m}^{n}=\frac{m!}{n!(m-n)!}\)
二项式定理：
\[(a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}a^ib^{n-i} \]- 证明：
发现在 \((a+b)^n\) 展开后，对于乘开每个括号都有两个选择，一种选 \(a\)，一种选 \(b\)，所以乘开后将会有 2^n 项，可以肯定的是每一项的次数和必为 \(n\) (因为每一项都是 \(n\) 个括号展开后得到，每个括号都会贡献一个 \(a\) 或 \(b\))
所以 \((a+b)^n=\sum_{i=0}^{n} ka^ib^n-i\) (\(k\) 为系数)，而 \(k\) 其实也就是从 \(n\) 个括号里选 \(i\) 个括号贡献 \(a\)
的方案数，即 \(k=C_{n}^{i}\)。
常见恒等式：
- \(\left(_m^n\right)\left(_k^m\right)=\left(_k^n\right)\left(_{m-k}^{n-k}\right)\)
证明：自己展开就好了
- \(i\left(_i^n\right)=n\left(_{i-1}^{n-1}\right)\)
证明：自己展开就好了
- \(\sum_{j=w}^{k}\left(_j^x\right)\left(_{k-j}^{n-x}\right)=\sum_{i=1}^x\left(_{w-1}^{i-1}\right)\left(_{k-w}^{n-i}\right)\)
证明：考虑成一共要放 \(k\) 个元素，在 \(x\) 前至少放 \(w\) 个。
- \(\sum_{i=0}^{m}\left(_n^{n+i}\right)=\left(_{n+1}^{n+m+1}\right)\)
证明：考虑成 \(n+1\) 个元素最后一个元素的位置。
- \(\sum_{i=0}^{n}\left(_i^n\right)\left(_{k-i}^m\right)=\left(_k^{n+m}\right)\)
证明：第一个式子理解成从 \(n\) 里拿 \(i\) 个，从 \(m\) 里拿 \(k-i\) 个，后一个式子理解为从 \(n+m\) 里一共拿 \(k\) 个。