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什么是线性相关、线性无关？
定义1 \(K^n\)中，向量组\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}(s\ge 1)\)是线性相关的，即\(K\)中有不全为0的数\(k_1,k_2,...,k_s\)使得\(k_1\bm{α_1}+k_2\bm{α_2}+...+k_s\bm{α_s}\)成立
定义2 \(K^n\)中，向量组\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}(s\ge 1)\)不是线性相关的，那么称为线性无关的，即可从\(k_1\bm{α_1}+k_2\bm{α_2}+...+k_s\bm{α_s}\)推断出所有系数\(k_1,k_2,...,k_s=0\)
常用性质
1. 几何空间中，共面的3个向量线性相关，不共面的3个向量线性无关.
要证明该结论，需要引理：
引理（向量共面充要条件） \(向量\bm{a,b,c}\)共面的充要条件，是有不全为0的实数\(k_1,k_2,k_3\)使得
\[k_1\bm{a}+k_2\bm{b}+k_3\bm{c}=0 \]
引理证明：
必要性. 设\(\bm{a,b,c}\)共面，
1）\(\bm{a}\nparallel\bm{b}\)
∴存在实数\(λ,μ\)使得\(\bm{c}=λ\bm{a}+μ\bm{b}\)
（\(\bm{c}\parallel \bm{a,b}\)为边的平行四边形的对角线）
∴\(λ\bm{a}+μ\bm{b}-\bm{c}=0\)
2）\(\bm{a}\parallel\bm{b}\)
∴存在不全为0的实数\(λ,μ\)使得\(λ\bm{a}+μ\bm{b}=0\)
∴\(λ\bm{a}+μ\bm{b}+0\bm{c}=0\)
充分性. 设\(k_1\bm{a}+k_2\bm{b}+k_3\bm{c}=0\)
不妨设\(k_1\neq 0\)
∴\(\bm{a}=-\frac{k_2}{k_1}\bm{b}-\frac{k_3}{k_1}\bm{c}\)
∴\(\bm{a,b,c}\)共面
下证原命题.
证：任取3向量\(\bm{α_1,α_2,α_3}\)
当\(\bm{α_1,α_2,α_3}\)共面时，
由共面充要条件，\(\bm{α_3}=λ\bm{α_1}+μ\bm{α_2},λ,μ\in R\)
∴\(λ\bm{α_1}+μ\bm{α_2}-\bm{α_3}=0\)
∵\(-1\neq 0\)
∴由定义1，\(\bm{α_1,α_2,α_3}\)线性相关.
当\(\bm{α_1,α_2,α_3}\)不共面时，由引理，
\[k_1\bm{a}+k_2\bm{b}+k_3\bm{c}=0\implies k_1=k_2=k_3=0 \]由定义2，\(\bm{α_1,α_2,α_3}\)线性无关.
2. 含零向量的向量组一定线性相关
∵\(k_1\bm{0}+0\bm{α_2}+...+0\bm{α_n}=0,k_1\neq 0\)
∴\(k_1,k_2,...,k_n\)不全为0
3. 单个向量\(\bm{α}\)线性相关当前仅当\(\bm{α}=0\)
∵\(k\bm{α}=0\)，系数不能全为0
∴\(k\neq 0\)
∴\(\bm{α}=0\)
4. 向量组\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}(s\ge 2)\)线性相关\(\Longleftrightarrow\)其中至少有一个向量能由其他向量线性表出
证明：
充分性.
线性相关\(\implies\) 存在s个不全为0的实数使得\(k_1\bm{α_1}+k_2\bm{α_2}+...+k_s\bm{α_s}=0\)
不妨设\(k_i\neq 0\)
∴\(\bm{α_i}=-\frac{k_1}{k_i}\bm{α_1}-\frac{k_2}{k_i}\bm{α_2}-...-\frac{k_{i-1}}{k_i}\bm{α_{i-1}}+\frac{k_{i+1}}{k_i}\bm{α_{i+1}}-...-\frac{k_{s}}{k_i}\bm{α_s}\)
必要性.
设\(\bm{α_i}=λ_1\bm{α_1}+λ_2\bm{α_2}+...+λ_{i-1}\bm{α_{i-1}}+λ_{i+1}\bm{α_{i+1}}+...+λ_s\bm{α_s}\)
∴\(λ_1\bm{α_1}+λ_2\bm{α_2}+...+λ_{i-1}\bm{α_{i-1}}+(-1)\bm{α_i}+λ_{i+1}\bm{α_{i+1}}+...+λ_s\bm{α_s}=0\)
∴\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}\)线性相关
5. 齐次线性方程组：
对于列向量组\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}(s\ge 1)\)，
线性相关
\(\Longleftrightarrow\)方程组\(x_1\bm{α_1}+x_2\bm{α_2}+...+x_s\bm{α_s}=0\)有非零解；
线性无关
\(\Longleftrightarrow\)方程组\(x_1\bm{α_1}+x_2\bm{α_2}+...+x_s\bm{α_s}=0\)只有零解.
6. 行列式：
n个n维列（行）向量\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}\)
线性相关
\(\Longleftrightarrow\)以\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}\)为列（行）向量组的矩阵的行列式值为0；
线性无关
\(\Longleftrightarrow\)以\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}\)为列（行）向量组的矩阵的行列式值不为0.
说明：
由克莱姆法则（见高等代数笔记：克莱姆法则（Cramer's Rule）），线性方程组对应系数行列式值不为0，则方程组有唯一解.
而对于齐次线性方程组（常数项为0），0显然是其解
i.e. 由\(k_1\bm{α_1}+k_2\bm{α_2}+...+k_s\bm{α_s}=0 \implies k_1,k_2,...,k_s\)是唯一解（对应齐次线性方程组的0解）
7. 向量组线性表出：
向量\(\bm{β}\)可由向量组\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}\)线性表出方式唯一
\(\Longleftrightarrow\) \(\bm{α_1,α_2,...,α_s}\)线性无关.
\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}\)线性相关
\(\Longleftrightarrow\)表出方式有无穷多种
8. 向量组的部分组：
如果向量组的一个部分组线性相关，那么整个向量组线性相关；
如果向量组线性无关，那么任何一个部分组线性无关.
9. 延伸或缩短：
1）如果向量组线性无关，那么每个向量添加m个分量得到的延伸组也线性无关；
2）如果向量组线性相关，那么每个向量去掉m个分量得到的缩短组组也线性相关. （逆否命题）
证1）：设\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}\)的一个延伸组\(\bm{\widetilde{α_1},\widetilde{α_2},...,\widetilde{α_s}}\)
设\(\exist k_1,k_2,...,k_s\in R\)，满足\(k_1\bm{\widetilde{α_1}}+k_2\bm{\widetilde{α_2}}+...+k_s\bm{\widetilde{α_s}}=0\)
∵\(\bm{\widetilde{α_1}}=\begin{pmatrix}\bm{α_1}\\...\end{pmatrix},
\bm{\widetilde{α_2}}=\begin{pmatrix}\bm{α_2}\\...\end{pmatrix},
...,
\bm{\widetilde{α_s}}=\begin{pmatrix}\bm{α_s}\\...\end{pmatrix}\)
∴\(k_1\bm{α_1}+k_2\bm{α_2}+...+k_s\bm{α_s}=0\)
∵\(\bm{α_1,α_2,...,α_s}\)线性无关
∴\(k_1=k_2=...=k_s=0\)
∴\(\bm{\widetilde{α_1},\widetilde{α_2},...,\widetilde{α_s}}\)线性无关.
线性表出问题
命题1 设向量组\(\bm{α_1,...,α_s}\)线性无关，则\(\bm{β}\)可由\(\bm{α_1,...,α_s}\)线性表出的充要条件：\(\bm{α_1,...,α_s,β}\)线性相关.
证明：
必要性.
设\(\bm{β}\)可由\(\bm{α_1,...,α_s}\)线性表出，则存在\(c_1,...,c_s\in K\)使得
\(\bm{β}=c_1\bm{α_1}+...+c_s\bm{α_s}\)
∴\(c_1\bm{α_1}+...+c_s\bm{α_s}+(-1)\bm{β}=0\)
而\(-1\neq 0\)
∴\(\bm{α_1,...,α_s,β}\)线性相关
充分性.
设\(\bm{α_1,...,α_s,β}\)线性相关，则存在不全为0的一组数\(k_1,...,k_s,l\in K\)使得
假设\(l=0\)，那么\(\bm{α_1,...,α_s}\)线性相关，与题设矛盾
∴假设不成立，即\(l\neq 0\)
∴\(\bm{β}=\frac{k_1}{l}\bm{α_1}+...+\frac{k_s}{l}\bm{α_s}\)
故\(\bm{β}\)可由\(\bm{α_1,...,α_s}\)线性表出
推论1 设向量组\(\bm{α_1,...,α_s}\)线性无关，则向量\(\bm{β}\)不能由\(\bm{α_1,...,α_s}\)线性表出的充要条件：\(\bm{α_1,...,α_s,β}\)线性无关.
命题1的逆否命题.
参考
[1] 丘维声. 解析几何(第2版)[M]. 北京大学出版社, 1996.
标签：...,+...+,bm,线性相关,线性,代数,向量 From： https://www.cnblogs.com/fortunely/p/18667481