13.线性相关性&内积&范数&正交
13.1 向量组的线性相关性
13.1.1 定义
对于任意向量组\(A:a_1,a_2,a_3,...,a_n\)，存在不全为0的数\(k_i(i=1,2,3,...,m)\)，使：
\[\tag{1} \sum_{i=1}^mk_i\cdot a_i=0 \]则称向量组A是\(线性相关\)的，否则称A是\(线性无关\)的
13.1.2 线性相关示例
- 示例1：
设存在不全为0的数\(k_1,k_2\)，且存在以下列向量组：
\[a_1= \begin {bmatrix} 0\\ 1 \end {bmatrix}， a_2= \begin {bmatrix} 1\\ 0 \end {bmatrix} \]根据线性相关的定义，可得：
\[k_1\cdot a_1 +k_2\cdot a_2=k_2+k_1\neq0 \]\[\Rightarrow 向量组a_1,a_2是线性无关的 \]- 示例2：
设存在不全为0的数\(k_1,k_2\)，且存在以下列向量组：
\[a_1= \begin {bmatrix} 1\\ 2 \end {bmatrix}， a_2= \begin {bmatrix} 2\\ 4 \end {bmatrix} \]设\(k_1\cdot a_1+k_2\cdot a_2=0\)，则有：
\[k_1\cdot a_1+k_2\cdot a_2=k_1\cdot \begin {bmatrix} 1\\ 2 \end {bmatrix} + k_2 \cdot \begin {bmatrix} 2\\ 4 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 0\\ 0 \end {bmatrix} \]\[\Leftrightarrow \begin {cases} k_1+2k_2=0\\ 2k_1+4k_2=0 \end {cases} \]\[\Rightarrow 方程存在非0解，如：k_1=2，k_2=-1 \]\[\Rightarrow 本示例中向量组a_1,a_2为线性相关 \]13.2 向量组与矩阵的秩
13.2.1 定理
设存在向量组\(：a_1,a_2,a_3,...,a_m\)，且其构成的矩阵为：
\[A= \begin {bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ ...\\ a_m \end {bmatrix} \]则有：
\[\tag{2} 向量组线性相关 \Leftrightarrow R(A)<m \]\[\tag{3} 向量组线性无关 \Leftrightarrow R(A)=m \]13.2.2 示例：n维单位坐标向量组的线性相关性
设存在n维单位坐标向量组：\(e_1,e_2,e_3,...,e_n\)
则n维单位坐标向量组构成单位矩阵E，由：
\[|E|=1 \Rightarrow |E|\neq0 \Rightarrow R(E)=n \]\[\Leftrightarrow n维单位坐标向量组是线性无关的 \]13.3 向量的内积
13.3.1 内积的定义
设存在以下n维向量：
\[X= \begin {bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ ...\\ x_n \end {bmatrix}， Y= \begin {bmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3\\ ...\\ y_n \end {bmatrix} \]则称：
\[\tag{4} [x,y]=\sum_{i=1}^nx_i\cdot y_i \]为向量\(x\)与向量\(y\)的内积。
13.3.2 内积相关性质
向量的内积具有以下性质：
\[\begin {array}{c} (1)&[x,y]=[y,x]\\\\ (2)&[\lambda x,y]=\lambda \cdot [x,y]\\\\ (3)&[x+y,z]=[x,z]+[y,z]\\\\ (4)& \begin {cases} [x,x]=0, x=0 \\ [x,x]>0, x\neq0 \\ \end {cases}\\\\ (5)&柯西不等式：[x,y]^2 \leq [x,x]\cdot[y,y] \end {array} \] 标签：begin,13,end,cdot,内积,bmatrix,范数,向量 From： https://www.cnblogs.com/efancn/p/18671914