20河北师大《数学分析》第1题

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1. 求极限

\[\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\right)^\frac1n \]

解：令

\[f(n)=\left(\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\right)^\frac1n \]

为了利用夹逼准则，我们先证$$\left(\frac1{2n}\right)^\frac1n\le f(n)\le1$$
左边的不等式是因为

\[\left(\frac1{2n}\right)^\frac1n\le\left(1\cdot\frac32\cdot\frac54\cdots\frac{2n-1}{2n-2}\cdot\frac1{2n}\right)^\frac1n=f(x) \]

右边的不等式显而易见。下面我们证

\[\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{2n}\right)^\frac1n=1\tag{1} \]

由于

\[\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\ln\left(\left(\frac1{2n}\right)^\frac1n\right)&=\lim_{n\to\infty}\frac1n\ln\left(\frac1{2n}\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{-\ln2-\ln n}n\\ &=0 \end{align*}\]

所以\((1)\)成立。由夹逼准则，得\(\lim_{n\to\infty}f(n)=1\)。

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