零点问题与微分不等式
零点问题关注于”有没有解“，”有几个解“。
目录零点问题
- 单调性与存在性
- 罗尔原话
- 多项式方程的根
单调性与存在性
可以使用零点定理证明连续函数零点的存在性，再利用函数的单调性证明零点的唯一性。
罗尔原话
若\(f^{(n)}(x)\)至多k个根，则\(f(x)\)至多n+k个根。
这个定理常被用来证明函数根数量的上限。
要证明罗尔原话，只需要考虑一阶导函数，剩下的高阶可以递推出来，也就是要证明：
\[\#(root \ of \ f') \leq k \Rightarrow \#(root \ of \ f) \leq k+1 \]考虑证明其逆否命题：
\[\#(root \ of \ f) > k+1 \Rightarrow \#(root \ of \ f') > k \]在f的k+1个根分割出来的k个区间上各使用一次罗尔定理即可。
多项式方程的根
奇次多项式至少一个根。
微分不等式
- 函数形态
- 拉格朗日中值定理或泰勒展开式
- 常数变量化
函数的形态
指通过求一阶导数判断原函数的单调性，二阶导数判断一阶导数的单调性，属于高中题目的范畴
拉格朗日中值定理或泰勒展开
当要证明的不等式可以变形出\(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)时，可以考虑使用。
当出现高阶导数时，可以考虑使用泰勒展开，因为泰勒展开是联系原函数和高阶导数的桥梁
常数变量化
常数变量化是一种”方法“，是”术“。如以下例题：
证明当\(e<a<b\)时，\(b^a<a^b\)。
可以变换为\(\frac{\ln(b)}{b} < \frac{\ln(a)}{a}\)，固定常数a，将b视为变量x，也就是证明
当\(e<a<x\)时，\(\frac{\ln(x)}{x} < \frac{\ln(a)}{a}\)。
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