二维计算几何基础
单位圆
以原点为圆心，1 为半径的圆称为单位圆。单位圆的解析式为 \(x^2+y^2=1\)。
从角度到弧度
角度：把一圆周分为 360 等分，每等分为 \(1^{\circ}\)。
弧度：记一圆周弧度的值为 \(2\pi\)。一个角弧度在数值上等于单位圆上这个角所对弧的弧长。
弧度的单位为 rad，一般省略不写。
弧度制下角的动态意义：射线从一个位置绕其端点旋转到另一个位置形成角。逆时针旋转形成数值为正的角，顺时针旋转形成数值为负的角。
例子：
| 角度 | 360 | 180 | 90 | 45 |
|---|---|---|---|---|
| 弧度 | \(2\pi\) | \(\pi\) | \(\frac \pi 2\) | \(\frac \pi 4\) |
在 c++ 中高精度的 \(\pi\) 可以由 acos(-1) 或 acosl(-1) 得到。
二维极坐标系与极角
极角：由 \(x\) 轴正方向旋转得到的角，单位为弧度。显然 \(\theta\) 与 \(\theta\pm2\pi\) 在平面上对应的角是一样大的。
我们用极角与点到原点的距离表示一个点。就是极坐标系。
在 c++ 中，可以使用 <cmath> 中的 atan2(y,x) 求点 \((x,y)\) 对应的极角。它的取值为 \((-\pi,\pi]\)，即 \(x\) 轴上方为正，\(x\) 轴下方为负。
三角函数
锐角三角函数
初中学锐角三角函数，即在直角三角形中，记 \(\theta\) 为锐角的度数。
- 正弦 \(\sin \theta\)，对边与斜边的比值。
- 余弦 \(\cos\theta\)，邻边与斜边的比值。
- 正切 \(\tan \theta\)，对边与邻边的比值。显然有 \(\tan\theta=\frac {\sin \theta}{\cos \theta}\)
它们三个都有对应的反三角函数，即带入比值求角的大小。
任意角的三角函数
定义：在单位圆上，极角为 \(\theta\) 的点的坐标为 \((\cos \theta,\sin \theta)\)。
定义：\(\tan\theta=\frac {\sin\theta}{\cos \theta}\)。
那么根据单位圆的解析式就有：
\[\cos^2+\sin^2=1 \]在 c++ 中，可以使用数学库中的 sin，cos，tan，它们的单位都是弧度制，且 \(\pm2\pi\) 对数值无影响。
c++ 中同时还有 asin，acos，atan 反三角函数。
关于反三角函数的取值与定义域：
- 注意
asin与acos的定义域为 \([-1,1]\)，它们的值域分别为 \([-\frac \pi2,\frac \pi2]\) 和 \([0,\pi]\)，这是因为每个 \(\sin\) 或 \(\cos\) 的取值都对应了两个角，c++ 中asin求的是 \(y\) 轴右侧的角，acos求的是 \(x\) 轴上方的角。 - 而
atan由于关于原点对称点的极角的 \(\tan\) 相同，所以它的取值为 \([-\frac \pi 2,\frac \pi 2]\)，即只有 \(y\) 轴右侧的角。
正弦定理
在三角形 \(ABC\) 中，记 \(a,b,c\) 分别为 \(A,B,C\) 的对边，\(R\) 为外接圆的半径。
\[\frac a {\sin A} =\frac b{\sin B}=\frac c {\sin C}=2R \]余弦定理
在三角形 ABC 中，记 \(a,b,c\) 分别为 \(A,B,C\) 的对边。
\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos A \]向量
有方向的量。向量由起始点、方向、长度构成。可以理解为有方向的线段。
向量是可以平移的，不同的向量只取决于方向与长度不同。
我们用小写字母 \(a\) 表示向量，也可以用 \(AB\) 表示起始点为 \(A\)，终止点为 \(B\) 的向量。
向量的坐标表示
我们把向量的起始点平移到原点，用终止点的坐标 \((x,y)\) 表示这个向量，即起始点与终止点的坐标差。
在物理学上，可以把向量 \((x,y)\) 看作在平面上沿着向量行走到了 \((\Delta x,\Delta y)\)。
向量的关系
向量的模：\(|a|=\sqrt {x^2+y^2}\)，即向量的长度。
相等向量：模相等且方向相同的向量，即 \(x=x'\land y=y'\)。
相反向量：\(a\) 与 \(-a\)，模相等且方向相反的向量，即 \(x=-x'\land y=-y'\)。
平行向量：方向相反或相同的向量，注意与向量的模无关。
向量加减法
向量加法：\(a+b\)，可以理解为先走 \((\Delta x,\Delta y)\)，再走了 \((\Delta x',\Delta y')\)，这等价于走了 \((\Delta(x+x'),\Delta(y+y'))\)，于是加法就是 \((x+x',y+y')\)，即 \(AB+BC=AC\)。
平行四边形法则：由于 \(a+b=b+a\)，所以在平行四边形 \(ABCD\) 中，有 \(AB+BD=AC+CD=AD\)。
向量减法：\(a-b=a+(-b)\)，即 \((x-x',y-y')\)。
向量夹角
向量夹角：把它们的起始点平移到一个点时，两向量的夹角。记为 \(\theta\)。
我们可以判断向量的关系：
- \(\theta=0\) 时，同向。
- \(\theta=\frac \pi 2\) 时，垂直。
- \(\theta=\pi\) 时，反向。
向量数乘
向量 \(a\) 与实数 \(k\) 相乘的结果记为 \(ka\)。
满足两条法则：
- \(|ka|=|k||a|\)。
- 若 \(k>0\)，方向不变；若 \(k<0\) 则方向相反。
即 \(k(x,y)=(kx,ky)\)。
向量点积
点积也叫内积或数量积。
记 \(\theta\) 为 \(a\) 逆时针旋转到 \(b\) 的夹角。则有
\[a\cdot b=|a||b|\cos \theta \]几何意义：\(|b|\cos \theta\) 为 \(b\) 在 \(a\) 方向上的投影的长度。
其在数值上等于 \(x_1y_1+x_2y_2\)。
内积满足交换律。\(a\cdot b=b\cdot a\)。
计算向量夹角
\[\theta=\arccos \frac{a\cdot b}{|a||b|} \]即
\[\theta=\arccos \frac{x_1y_1+x_2y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}} \]判断向量垂直
垂直就是其中一向量在另一向量上的投影为 0。可以推得两向量垂直当且仅当：
\[a\cdot b=0 \]即
\[x_1y_1+x_2y_2=0 \]判断向量平行 1
即投影的绝对值就是向量的长度。则两向量平行当且仅当：
\[|a\cdot b|=|a||b| \]向量叉积
向量的叉积又叫向量的外积。
\[a\times b=|a||b|\sin \theta \]在数值上等于 \(x_1y_2-x_2y_1\)。
计算平行四边形面积
在二维向量中，叉积是一个数，几何意义是以两向量为邻边，\(\theta\) 为邻边夹角的平行四边形面积。
判断向量平行 2
那么平行四边形的面积就应当是 0。
所以两向量平行当且仅当：
\[a\times b=0 \] 标签：cos,frac,二维,计算,几何,theta,pi,sin,向量 From： https://www.cnblogs.com/dccy/p/18620950