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单位根反演

时间:2022-10-31 08:57:14浏览次数:45  
标签:frac 多项式 sum 单位根 反演 复杂度

单位根反演

就是下面这个式子:

\[[n|k]=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1} w_n^{ik} \]

证明:

  • 当 \(n|k\) 时,\(w_n^{ik}=1\),原式成立。
  • 当 \(n\not{|}k\) 时,原式等于 \(\frac{1}{n}\cdot \frac{1-w^{nk}}{1-w^k}=0\)。

应用

求一个多项式 \(f(x)\) 次数为 \(d\) 的倍数的系数和,其中需满足存在 \(d\) 次单位根 \(w_{d}\)。

设 \(f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i\),那么:

\[\begin{aligned} &\sum_{i=0}^n [d|i]a_i\\ =&\sum_{i=0}^na_i\frac{1}{d}\sum_{j=0}^{d-1}w_d^{ij}\\ =&\frac{1}{d}\sum_{j=0}^{d-1}\sum_{i=0}^na_iw_d^{ij}\\ =&\frac{1}{d}\sum_{j=0}^{d-1}f(w_{d}^j) \end{aligned} \]

于是如果求 \(f(x)\) 的时间复杂度为 \(O(t)\),那么就能在 \(O(dt)\) 的时间复杂度内解决这个问题。

所以一般应用于 \(d\) 为较小的定值,以及 \(f(x)\) 有良好的实际意义(能快速求)的情况。

当然把条件变成模 \(d\) 余 \(r\) 也是可以的,只需要将多项式平移即可。

把多项式换成数列也是可以的,只需要把数列换成其生成函数。

标签:frac,多项式,sum,单位根,反演,复杂度
From: https://www.cnblogs.com/ez-lcw/p/16843068.html

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