证明C(m,n)=C(m,n-1)+C(m-1,n-1)

标签：右边 frac cdot 通分 证明 分母

利用组合数的定义 $ C(m, n) = \frac{n!}{m!(n-m)!} $，展开公式的两边进行验证。

左边：

\[C(m, n) = \frac{n!}{m!(n-m)!}. \]

右边：

\[C(m, n-1) + C(m-1, n-1). \]

分别计算两项：

\[C(m, n-1) = \frac{(n-1)!}{m!((n-1)-m)!} = \frac{(n-1)!}{m!(n-m-1)!}, \]

\[C(m-1, n-1) = \frac{(n-1)!}{(m-1)!((n-1)-(m-1))!} = \frac{(n-1)!}{(m-1)!(n-m)!}. \]

将右边通分：

\[C(m, n-1) + C(m-1, n-1) = \frac{(n-1)!}{m!(n-m-1)!} + \frac{(n-1)!}{(m-1)!(n-m)!}. \]

通分后分母为 $ m!(n-m)! $，分子为：

\[m \cdot (n-1)! + (n-m) \cdot (n-1)! = n \cdot (n-1)!. \]

因此：

\[C(m, n-1) + C(m-1, n-1) = \frac{n \cdot (n-1)!}{m!(n-m)!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}. \]

这与 $ C(m, n) $ 相等，证明完毕。

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