数列极限的证明方法（一）

这里写目录标题

• 一、用定义证明极限
• • 1、 ϵ − N \epsilon -N ϵ−N方法
  • • （1）解不等式法
    • （2）放大法
    • （3）分步法
  • 2、用邻域描述极限
• 二、用 C a u c h y Cauchy Cauchy准则证明极限
• 三、否定形式及" ∀ \forall ∀"和" ∃ \exists ∃"的使用法则
• 四、利用单调有界原理证明极限存在

一、用定义证明极限

1、 ϵ − N \epsilon -N ϵ−N方法

ϵ − N \epsilon -N ϵ−N方法是1860年维尔斯特拉斯给出的对数列收敛的定义，在函数中它可以描述极限、连续、导数等直观概念，使极限定义更加严谨。这种定义摒弃了无穷小的几何想象，转而使用实数和不等式来描述极限。具体定义如下：
∀ ϵ > 0 , ∃ N > 0 , 当 n > N 时 , 有 ∣ x n − A ∣ < ϵ \forall \epsilon >0,\exists N>0,当n>N时,有\left|x_n-A \right|<\epsilon ∀ϵ>0,∃N>0,当n>N时,有∣xn​−A∣<ϵ
ϵ − N \epsilon -N ϵ−N方法都是围绕着不等式 ∣ x n − A ∣ < ϵ \left|x_n-A \right|<\epsilon ∣xn​−A∣<ϵ去做文章，下面是 ϵ − N \epsilon -N ϵ−N方法的三种使用场景。

（1）解不等式法

利用 ∣ x n − A ∣ < ϵ \left|x_n-A \right|<\epsilon ∣xn​−A∣<ϵ解出 n n n关于 ϵ \epsilon ϵ的关系。

这过于直接，给出就是送分题。一般都是用先放大再解不等式。

（2）放大法

将表达式 ∣ x n − A ∣ \left|x_n-A \right| ∣xn​−A∣放大成新函数 H ( n ) H(n) H(n),解出 H ( n ) < ϵ H(n)<\epsilon H(n)<ϵ即可。对于不同类型的不等式有不同的方法。

例：证明 lim ⁡ n → ∞ l n ( n ) n 2 = 0 \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{ln(n)}{n^2}=0 limn→∞​n2ln(n)​=0

提示：这里用到了对数与幂函数的大小比较。

n次根式不等式证明极限的方法是很特别的，针对这类问题我们直接对整个根式进行代换，再利用二项式定理展开，再放大即可。

例：证明 lim ⁡ n → ∞ a n = 1 \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{a}=1 limn→∞​na ​=1

提示：将 a n − 1 \sqrt[n]{a}-1 na ​−1记为 α \alpha α，则 a = ( 1 + α ) n ≥ 1 + α n a=(1+\alpha)^n \geq 1+\alpha ^n a=(1+α)n≥1+αn
其中 ( 1 + α ) n = 1 + C n 1 α + C n 2 α 2 + ⋯ + C n n α n (1+\alpha)^n=1+C_n^1\alpha +C_n^2\alpha^2+\dots+C_n^n\alpha^n (1+α)n=1+Cn1​α+Cn2​α2+⋯+Cnn​αn

例：证明 lim ⁡ n → ∞ n + 1 n = 1 \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{n+1}=1 limn→∞​nn+1 ​=1

提示： n + 1 n − 1 = α \sqrt[n]{n+1}-1=\alpha nn+1 ​−1=α， n + 1 = ( α + 1 ) n ≥ C n 2 α 2 = n ( n − 1 ) 2 α 2 n+1=(\alpha+1)^n \geq C_n^2\alpha^2=\frac{n(n-1)}{2}\alpha^2 n+1=(α+1)n≥Cn2​α2=2n(n−1)​α2

例：证明 lim ⁡ n → ∞ n 3 q n = 0 \lim_{n\rightarrow \infty}n^3q^n=0 limn→∞​n3qn=0（ ∣ q ∣ < 1 \left|q\right|<1 ∣q∣<1）

有限次根式可以用恒等式变换。

例：已知 lim ⁡ n → ∞ x n = a \lim_{n\rightarrow \infty}x_n=a limn→∞​xn​=a，求证 lim ⁡ n → ∞ x n 3 = a 3 \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[3]{x_n}=\sqrt[3]{a} limn→∞​3xn​ ​=3a ​

提示：用立方差公式将分子有理化

（3）分步法

分步法适用于已知数列 { x n } \{x_n\} {xn​}收敛，根据已知数列的收敛性证明其他数列也收敛。操作方法是将数列划分 { x 1 , x 2 , … , x N } \{x_1,x_2,\dots,x_N\} {x1​,x2​,…,xN​}和 { x N + 1 , x N + 2 , … , x n } \{x_{N+1},x_{N+2},\dots,x_n\} {xN+1​,xN+2​,…,xn​}。具体看下面的例题：

例：设 lim ⁡ n → ∞ x n = A \lim_{n\rightarrow \infty}x_n=A limn→∞​xn​=A(有限数)，试证 lim ⁡ n → ∞ x 1 + x 2 + ⋯ + x n n = A \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=A limn→∞​nx1​+x2​+⋯+xn​​=A

类似的有

例：设 lim ⁡ n → ∞ a n = a \lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a limn→∞​an​=a，试用 ϵ − N \epsilon -N ϵ−N方法证明：若 x n = a 1 + 2 a 2 + ⋯ + n a n 1 + 2 + ⋯ + n x_n=\frac{a_1+2a_2+\dots+na_n}{1+2+\dots+n} xn​=1+2+⋯+na1​+2a2​+⋯+nan​​，则 lim ⁡ n → ∞ x n = a \lim_{n\rightarrow \infty}x_n=a limn→∞​xn​=a

2、用邻域描述极限

在 ϵ − N \epsilon -N ϵ−N定义中， ∣ x n − A ∣ < ϵ \left|x_n-A \right|<\epsilon ∣xn​−A∣<ϵ可以描述为 x n ∈ U ( A , ϵ ) x_n \in U(A,\epsilon) xn​∈U(A,ϵ)。因此我们改写极限定义：
∀ ϵ > 0 , ∃ N > 0 , 当 n > N 时 , 有 x n ∈ U ( A , ϵ ) \forall \epsilon >0,\exists N>0,当n>N时,有x_n \in U(A,\epsilon) ∀ϵ>0,∃N>0,当n>N时,有xn​∈U(A,ϵ)
那么
∀ ϵ > 0 , 只有有限个数 n ∈ N ，使得 x n ∉ U ( A , ϵ ) \forall \epsilon >0,只有有限个数n \in N，使得x_n \notin U(A,\epsilon) ∀ϵ>0,只有有限个数n∈N，使得xn​∈/U(A,ϵ)

例 设 $ f:N \rightarrow N_1，n=f(m) ( ( (N 和 和 和N_1 都是全体自然数组成的空间 ) ，且 都是全体自然数组成的空间)，且 都是全体自然数组成的空间)，且\forall n \in N:f^{-1}(n) 为有限集，试证：若 为有限集，试证：若 为有限集，试证：若\lim_{n \rightarrow \infty}a_n=a ，则 ，则 ，则\lim_{m \rightarrow \infty}a_{f(m)}=a$

二、用 C a u c h y Cauchy Cauchy准则证明极限

柯西收敛准则的定义：
∀ ϵ > 0 , ∃ N > 0 , 当 m , n > N 时，有 ∣ x m − x n ∣ < ϵ \forall \epsilon>0,\exists N>0,当m,n>N时，有\left| x_m-x_n \right|<\epsilon ∀ϵ>0,∃N>0,当m,n>N时，有∣xm​−xn​∣<ϵ
或者
∀ ϵ > 0 , ∃ N > 0 , 当 n > N 时，对任意的 p ，有 ∣ x n + p − x n ∣ < ϵ \forall \epsilon>0,\exists N>0,当n>N时，对任意的p，有\left| x_{n+p}-x_n \right|<\epsilon ∀ϵ>0,∃N>0,当n>N时，对任意的p，有∣xn+p​−xn​∣<ϵ

柯西收敛准则用在证明三角式数列和求和式数列

例：证明 x n = s i n 1 2 + s i n 2 2 2 + ⋯ + s i n n 2 n x_n=\frac{sin1}{2}+\frac{sin2}{2^2}+\dots+\frac{sinn}{2^n} xn​=2sin1​+22sin2​+⋯+2nsinn​收敛

例：证明 x n = ∑ k = 2 n c o s k k ( k − 1 ) x_n=\sum_{k=2}^n\frac{cosk}{k(k-1)} xn​=∑k=2n​k(k−1)cosk​收敛

三、否定形式及" ∀ \forall ∀"和" ∃ \exists ∃"的使用法则

ϵ − N \epsilon -N ϵ−N定义的否定形式：
∃ ϵ 0 > 0 , ∀ N > 0 , ∃ n 1 > N , 使得 ∣ x n 1 − A ∣ ≥ ϵ 0 \exists \epsilon_0>0,\forall N>0, \exists n_1>N,使得\left|x_{n_1}-A\right|\geq \epsilon_0 ∃ϵ0​>0,∀N>0,∃n1​>N,使得∣xn1​​−A∣≥ϵ0​

C a u c h y Cauchy Cauchy准则的否定形式：
∃ ϵ 0 > 0 , ∀ N > 0 , ∃ m 1 , n 1 > N , 使得 ∣ x m 1 − x n 1 ∣ ≥ ϵ 0 \exists \epsilon_0>0,\forall N>0, \exists m_1,n_1>N,使得\left|x_{m_1}-x_{n_1}\right|\geq \epsilon_0 ∃ϵ0​>0,∀N>0,∃m1​,n1​>N,使得∣xm1​​−xn1​​∣≥ϵ0​
∃ ϵ 0 > 0 , ∀ N > 0 , ∃ n 1 > N , 及 p 1 > 0 , 使得 ∣ x n 1 + p 1 − x n 1 ∣ ≥ ϵ 0 \exists \epsilon_0>0,\forall N>0, \exists n_1>N,及p_1>0,使得\left|x_{n_1+p_1}-x_{n_1}\right|\geq \epsilon_0 ∃ϵ0​>0,∀N>0,∃n1​>N,及p1​>0,使得∣xn1​+p1​​−xn1​​∣≥ϵ0​

否定形式主要用于证明数列发散或不存在极限。

例：证明 lim ⁡ n → ∞ s i n ( n ) \lim_{n \rightarrow \infty}sin(n) limn→∞​sin(n)不存在

例：证明$ S_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$发散

例：设 x n = 1 + 1 2 + ⋯ + 1 n x_n=1+\frac{1}{\sqrt 2}+\dots+\frac{1}{\sqrt n} xn​=1+2 ​1​+⋯+n ​1​，证明数列发散。

提示：柯西收敛准则的否定形式中只要 m 1 , n 1 m_1,n_1 m1​,n1​存在即可，为了解题方便，可以设 m 1 = 2 n 1 m_1=2n_1 m1​=2n1​

四、利用单调有界原理证明极限存在

单调有界定理有两个方面：一、单调递增有上界；二、单调递减有下界。

证明：数列 x n = 1 + 1 2 + ⋯ + 1 n − l n ( n ) x_n=1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}-ln(n) xn​=1+21​+⋯+n1​−ln(n)有极限（该极限被称为欧拉常数）。

上题是单调递减有下界，主要运用了对数不等式、对数 l n ( n ) ln(n) ln(n)拆分成n项对数相加

证明：数列 x n = ∑ k = 1 n 1 k − 2 n x_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt k}-2\sqrt n xn​=∑k=1n​k ​1​−2n ​存在极限

上题是对 1 k \frac{1}{\sqrt k} k ​1​进行拆项，然后化简和式。