最大加权矩形

题目描述

为了更好的备战 NOIP2013，电脑组的几个女孩子 LYQ,ZSC,ZHQ 认为，我们不光需要机房，我们还需要运动，于是就决定找校长申请一块电脑组的课余运动场地，听说她们都是电脑组的高手，校长没有马上答应他们，而是先给她们出了一道数学题，并且告诉她们：你们能获得的运动场地的面积就是你们能找到的这个最大的数字。

校长先给他们一个 \(n\times n\) 矩阵。要求矩阵中最大加权矩形，即矩阵的每一个元素都有一权值，权值定义在整数集上。从中找一矩形，矩形大小无限制，是其中包含的所有元素的和最大 。矩阵的每个元素属于 \([-127,127]\) ,例如

 0 –2 –7  0 
 9  2 –6  2
-4  1 –4  1 
-1  8  0 –2

在左下角：

9  2
-4  1
-1  8

和为 \(15\)。

几个女孩子有点犯难了，于是就找到了电脑组精打细算的 HZH，TZY 小朋友帮忙计算，但是遗憾的是他们的答案都不一样，涉及土地的事情我们可不能含糊，你能帮忙计算出校长所给的矩形中加权和最大的矩形吗？

输入格式

第一行：\(n\)，接下来是 \(n\) 行 \(n\) 列的矩阵。

输出格式

最大矩形（子矩阵）的和。

样例

4
0 -2 -7 0
 9 2 -6 2
-4 1 -4  1 
-1 8  0 -2

15

提示

\(1 \leq n\le 120\)

思路

数据不大，可以直接用前缀和暴力做出来

前缀和

将\(a[i][j]\)想象成一个方格，而不是一个点，i为第几行，j为第几列
下面这张图则是求紫色斜线部分数据之和的图解
\(sum = s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 -1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1]\)

代码实现

#include <iostream>

int s[130][130];
using namespace std;

int main()
{
    int n; cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            int num; cin >> num;
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + num;
        }
    }
    int max = 0;
    for(int x1 = 1; x1 <= n; x1++)
    {
        for(int y1 = 1; y1 <= n; y1++)
        {
            for(int x2 = x1; x2 <= n; x2++)
            {
                for(int y2 = y1; y2 <= n; y2++)
                {
                    int su = s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1];
                    max = su > max ? su : max;
                }
            }
        }
    }
    cout << max;
}