最大加权矩形

题目描述

为了更好的备战 NOIP2013，电脑组的几个女孩子 LYQ,ZSC,ZHQ 认为，我们不光需要机房，我们还需要运动，于是就决定找校长申请一块电脑组的课余运动场地，听说她们都是电脑组的高手，校长没有马上答应他们，而是先给她们出了一道数学题，并且告诉她们：你们能获得的运动场地的面积就是你们能找到的这个最大的数字。

校长先给他们一个 \(n\times n\) 矩阵。要求矩阵中最大加权矩形，即矩阵的每一个元素都有一权值，权值定义在整数集上。从中找一矩形，矩形大小无限制，是其中包含的所有元素的和最大 。矩阵的每个元素属于 \([-127,127]\) ,例如

 0 –2 –7  0 
 9  2 –6  2
-4  1 –4  1 
-1  8  0 –2

在左下角：

9  2
-4  1
-1  8

和为 \(15\)。

几个女孩子有点犯难了，于是就找到了电脑组精打细算的 HZH，TZY 小朋友帮忙计算，但是遗憾的是他们的答案都不一样，涉及土地的事情我们可不能含糊，你能帮忙计算出校长所给的矩形中加权和最大的矩形吗？

输入格式

第一行：\(n\)，接下来是 \(n\) 行 \(n\) 列的矩阵。

输出格式

最大矩形（子矩阵）的和。

样例 #1

样例输入 #1

4
0 -2 -7 0
 9 2 -6 2
-4 1 -4  1 
-1 8  0 -2

样例输出 #1

15

提示

\(1 \leq n\le 120\)

解题

今天我怎么就写得这么顺利呢？੭ ˙ᗜ˙ ੭

本题计算矩阵和，仅需要先锚定矩形右下点坐标，再减去左边部分和上边部分，最后加上(左边和上边重合的)左上部分即可。

​ 0 -2 -7 0
​ __9 __ 2 -6 2
-4 1 -4 1
__-1 __ 8 0 -2

为计算方便，可先计算前缀和(由题设矩阵 左上角 和 当前位置构成的矩阵和)，如图。

0 -2 -9 -9
9 9 -4 -2
5 6 -11 -8
4 13 -4 -3

#include<stdio.h>

//题设数组     , 前缀和数组
int a[130][130], b[130][130];
int n;

int main()
{
    //输入
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            scanf("%d", &a[i][j]);
        }
    }

    //计算前缀和
    for (int i = 1; i <=n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            int sum = 0;
            for (int k = 1; k <= i; k++)
            {
                sum += a[k][j];
            }
            b[i][j] = b[i][j - 1] + sum;
        }
    }

    //计算
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)//i和j表示矩形的右下角顶点坐标
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            for (int k = 1; k <= i; k++)//k表示矩形的左边界坐标
            {
                for (int l = 1; l <= j; l++)//l表示矩形的上边界坐标
                {
                    //矩形和= 右下点和- 左下点和    - 右上点和    + 左上点和
                    int sum = b[i][j] - b[k - 1][j] - b[i][l - 1] + b[k - 1][l - 1];
                    //更新ans为最大
                    ans = (ans > sum) ? ans : sum;
                }
            }
        }
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}