题目 楔形体是三角形面互相全等的四面体. 一个楔形体的面是边长为整数的各边不等的三角形, 那么它的总表面积最小为
$\textbf{(A) }\sqrt{3}\qquad\textbf{(B) }3\sqrt{15}\qquad\textbf{(C) }15\qquad\textbf{(D) }15\sqrt{7}\qquad\textbf{(E) }24\sqrt{6}$
解 设$ABCD$为各面是边长为整数的各边不等的三角形的楔形体, 则由于$\triangle ABC$与$\triangle ABD$全等, 故集合$\{|AC|,|BC|\}=\{|AD|,|BD|\},$ 同理$\{|AB|,|BC|\}=\{|AD|,|DC|\},$ 故$|AD|=|BC|,$ $|AC|=|BD|,$ $|AB|=|CD|,$ 根据1972年美国数学奥林匹克P2的结论,
$ABCD$的各面都是锐角三角形.
另一方面, 给定能构成锐角三角形的三边长度$a,b,c,$ 作长方体$PQRS-P_1Q_1R_1S_1,$ 棱长满足$PQ=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2}},$ $PS=\sqrt{\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2}},$ $PP_1=\sqrt{\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2}},$则取$D=P,$ $A=R,$ $B=Q_1,$ $C=S_1,$ 则构造出满足$AB=CD=c,$ $AC=BD=b,$ $AD=BC=a$的楔形体.
因此本题等价于下面的问题.
题目' $\triangle ABC$是边长为整数的各边不等的锐角三角形, 则其面积的$4$倍最小为
$\textbf{(A) }\sqrt{3}\qquad\textbf{(B) }3\sqrt{15}\qquad\textbf{(C) }15\qquad\textbf{(D) }15\sqrt{7}\qquad\textbf{(E) }24\sqrt{6}$
题目'解 先猜结论. 枚举可知, 符合条件的整数边长组依字典排序较小的为$(4,5,6),$ 半周长为$p=\dfrac{15}{2},$ 则由海伦公式, 其面积为$$S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\dfrac{15\sqrt7}{4},$$
其$4$倍为$15\sqrt7.$ 选$\textbf{(D) }.$
再补证明. 不妨设三角形边长满足$a < b < c,$ 半周长为$p,$ 由锐角三角形的条件可知$$a^2 > c^2-b^2 > c^2-(c-1)^2=2c-1\geq2(a+2)-1,$$ 因此$a>3,$ 即$a\geq4.$ 注意到\begin{align*}
a+b-c\geq a+b-\sqrt{a^2+b^2}=\dfrac{2ab}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}\geq \dfrac{2ab}{2b+\sqrt{2b^2}}=(2-\sqrt2)a>2,
\end{align*}故$a+b-c\geq3,$ $p-c=\dfrac{a+b-c}{2}\geq\dfrac{3}{2},$ 且\begin{align*}
&p-b=p-c+(c-b)\geq \dfrac{3}{2}+1=\dfrac{5}{2},\quad
p-a=p-c+(c-a)\geq \dfrac{3}{2}+2=\dfrac{7}{2},\\
&p=(p-a)+(p-b)+(p-c)\geq\dfrac{15}{2}.
\end{align*}
由海伦公式可知面积的$4$倍至少为$15\sqrt7.$ 这也表明前面的例子是最小的.