题目 下图是一个宽$8$英寸, 高$3$英寸的点阵, 由$1$英寸乘以$1$英寸的正方形组成. Carl将$1$英寸的牙签插在方格的一些边上, 以形成一个不相交的闭合环. 单元格中的数字表示该正方形中要用牙签覆盖的边的数量, 如果没有写数字, 则允许用任意数量的牙签. Carl放置牙签的方法种数为
$\textbf{(A) }130\qquad\textbf{(B) }144\qquad\textbf{(C) }146\qquad\textbf{(D) }162\qquad\textbf{(E) }196$
解 当闭合环上没有方格表第二行格的竖边(如左下图中的蓝色边)时, 符合条件闭合环只能有两种可能, 如下图.
当闭合环含有方格表第二行格的竖边时, 则根据方格表中数字的要求, 闭合环沿相应竖边只能向同列的另外两个竖边方向延伸, 例如下图, 当闭合环含有蓝色竖边时, 图中的红色竖边也一定都在闭合环上.
根据环内不相交的要求, 易见要求的闭合环只能恰好两次穿过含数字$1$的区域, 对应闭合环中恰好含有两个方格表第二行格的竖边. 再结合最左侧和最右侧两个数字$1$的要求, 闭合环穿过含数字$1$的区域的情况只有以下$4$种情形.
以上图中的左下角的情况为例, 此时已经确定的牙签已经保证了最左侧的$1$个数字$1$与最右侧$2$个数字$1$的条件成立. 对于剩余的$5$个数字$1$对应的方格, 它们被牙签覆盖的边只能为上下的横边, 而任意取定每一个方格被牙签覆盖的边, 都可以唯一确定一个闭合环. 例如, 我们取定第$2,3,4,5,6$列中间格被覆盖的边为下, 上, 下, 下, 上横边, 则确定的闭合环如下右图.
因此左下情形的闭合环个数为$2^5,$ 同理左上, 右上, 右下情形的闭合环个数为$2^6,2^5,2^4,$ 因此符合要求的闭合环共有$2^6+2^5+2^5+2^4+2=146$个. 选$\textbf{(C) }.$