首页 > 其他分享 >3 有限体积法:推导方程

3 有限体积法:推导方程

时间:2024-11-05 12:43:50浏览次数:1  
标签:方程 partial 推导 align phi 体积 rho delta frac

3 有限体积法:推导方程

基本原理和目标

(注意:这一节看不懂没关系,在后面的推导中会慢慢用到)

  • 质量、动量和能量的守恒

    1. 流体的质量守恒
    2. 动量改变的速度 = 一个流体粒子上受到的力的总和(牛顿第二定律)
    3. 能量改变的速度 = 一个流体粒子吸收的热量,和作用在其上的功的总和(热力学第一定律)
  • 推导出控制流动的偏微分方程

  • 通过牛顿模型描述粘性应力,推导出纳维-斯托克斯方程

  • 控制流体行为的方程和传输方程是相似的

  • 把传输方程的积分形式应用于有限时间间隔和有限控制体积

  • 把物理现象分为椭圆型、抛物线型、双曲线型

  • 将流体看作一个连续体(continuum)

  • 考虑一个小流体元素,其边长为\(\delta x\),\(\delta y\),\(\delta z\)​

三维物理量守恒

质量守恒

一个流体元素中质量的增加速度 = 流入流体元素的净流动速度

质量增加速度

\[\begin{align}\frac{\partial}{\partial t}(\rho\delta x\delta y\delta z)=\frac{\partial\rho}{\partial t}(\delta x\delta y\delta z)\end{align} \]

注意:这里\(\rho\delta x\delta y\delta z\)可理解为\(\rho \delta V\),也就是代表了该流体微元的总质量。

然后求质量关于时间的一阶导,就是质量的净增加速度了。

穿过流体元素边界,流入流体元素的净质量流动速率为:

image

其中,约定流入流体微元的质量流动标正号,流出的标负号。

注意这里是如何运用泰勒级数展开的(以x方向,即图中横着的方向为例):

  1. 在点x处的质量流动速率密度(即单位面积的质量流率)为\(\rho u\);

  2. 使用一阶泰勒级数展开:

    \[\begin{align}f(x+\delta x)=f(x)+\frac{df(x)}{dx} \delta x\end{align} \]

  3. 在\(x-\frac{1}{2} \delta x\)(即流入处):

    \[\begin{align} f(x-\frac{1}{2}\delta x)&=f(x)-\frac{\partial f(x)}{\partial x}\cdot \frac{1}{2}\delta{x}\\ &=\rho u-\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}\cdot \frac{1}{2}\delta{x} \end{align} \]

    在\(x+\frac{1}{2} \delta x\)(即流出处)同理,此处不再展示。

  4. x方向流入的真正质量流动速率为(即乘上个截面面积):

    \[\begin{align}\left(\rho u-\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}\frac12\delta x\right)\delta y\delta z\end{align} \]

把六个方向(x,y,z方向的流入和流出)加一下,可得:

\[\begin{align} \begin{gathered} \left(\rho u-\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}\frac12\delta x\right)\delta y\delta z-\left(\rho u+\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}\frac12\delta x\right)\delta y\delta z \\ +\left(\rho v-\frac{\partial(\rho v)}{\partial y}\frac{1}{2}\delta y\right)\delta x\delta z-\left(\rho v+\frac{\partial(\rho v)}{\partial y}\frac{1}{2}\delta y\right)\delta x\delta z \\ +\left(\rho w-\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}\frac{1}{2}\delta z\right)\delta y\delta x-\left(\rho w+\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}\frac{1}{2}\delta z\right)\delta y\delta x \end{gathered}\end{align} \]

化简可得最终穿过流体元素边界,流入流体元素的净质量流动速率

\[\begin{align}\left(\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial(\rho v)}{\partial y}+\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}\right)\delta x\delta y\delta z\end{align} \]

那么,我们可以得到质量守恒方程:

\[\begin{align} \frac{\partial\rho}{\partial t}(\delta x\delta y\delta z)+\left(\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial(\rho v)}{\partial y}+\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}\right)\delta x\delta y\delta z=0\end{align} \]

把\(\delta x \delta y \delta z\)消掉,可得:

\[\begin{align}&\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial(\rho v)}{\partial y}+\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}=0 \\&\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\boldsymbol{u})=0\end{align} \]

注意,这里的Nabla算子:

\[\begin{align} \nabla=\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial z} \end{align} \]

上述方程可表示在可压缩流体中的某一点,非稳态、三维流动下的质量守恒或连续性方程。

而对于不可压缩流动,密度是守恒的,此时:

\[\begin{align} &\nabla\cdot\boldsymbol{u}=0\\ \quad&\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0 \end{align} \]

推广:物理量守恒

现设有一物理量在每单位质量的值为\(\phi\)。

沿着一个流体粒子的轨迹,对函数\(\phi\)的总(total)或实质(substantive)导数可表示为:

\[\begin{align} \frac{D\phi}{Dt}=\frac{\partial\phi}{\partial t}+\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial\phi}{\partial z}\frac{dz}{dt}\end{align} \]

注意,流体粒子会随着流动而移动,故:

\[\begin{align} \frac{dx}{dt}=u,~\frac{dy}{dt}=v,~\frac{dz}{dt}=w \end{align} \]

由此可得,\(\phi\)的实质导数可写作:

\[\begin{align} \frac{D\phi}{Dt}&=\frac{\partial\phi}{\partial t}+u\frac{\partial\phi}{\partial x}+v\frac{\partial\phi}{\partial y}+w\frac{\partial\phi}{\partial z}\\ &=\frac{\partial\phi}{\partial t}+\boldsymbol{u}\cdot\nabla\phi \end{align} \]

该方程表示,该物理量随着时间的变化+流体粒子在空间中的运动与物理量在空间中变化的叠加效应=单位质量物质的\(\phi\)属性沿着一个流体微元运动轨迹的总变化率。

那么,对于一个流体粒子而言,其物理量\(\phi\)每单位体积的变化速度为:

\[\begin{align} \rho\frac{D\phi}{Dt}=\rho\left(\frac{\partial\phi}{\partial t}+\boldsymbol{u}\cdot\nabla\phi\right) \end{align} \]

下一步,我们向任意守恒的物理量(arbitrary conserved property)推广(generalize)出其守恒方程:

(注意:别直接用这个方程,这个是来自PPT的,请参见下面的方程27)

\[\begin{align} \frac{\partial(\rho\phi)}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\phi\boldsymbol{u})=\rho\left[\frac{\partial\phi}{\partial t}+\boldsymbol{u}\cdot\nabla\phi\right]+\phi\left[\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\boldsymbol{u})\right]=\rho\frac{D\phi}{Dt} \end{align} \]

其具体推导过程为:

  1. 原实质导数参见方程17:\(\frac{D\phi}{Dt}=\frac{\partial\phi}{\partial t}+\boldsymbol{u}\cdot\nabla\phi\)​

  2. 首先,推广到密度和物理量一起,即考虑\(\rho \phi\)随时间的变化率,此时使用乘积法则:

    \[\begin{align} d(uv)=udv+vdu \end{align} \]

    利用该法则,有:

    \[\begin{equation} \frac{\partial(\rho\phi)}{\partial t}=\phi\frac{\partial\rho}{\partial t}+\rho\frac{\partial\phi}{\partial t} \end{equation} \]

  3. 下一步,考虑\(\rho \phi\)在空间上的变化,加入流体运动速度\(\boldsymbol{u}\)(这里加粗代表x,y,z三个方向的速度矢量),即对\(\rho \phi \boldsymbol{u}\)取散度,三个物理量都可能随着位置变化:

    \[\begin{equation} \nabla\cdot(\rho\phi\vec{u})=\phi[\nabla\cdot(\rho\vec{u})]+(\rho\vec{u})\cdot\nabla\phi \end{equation} \]

  4. 将过程2和过程3的结果,即时间导数和空间上的散度项结合起来:

    \[\begin{align} \frac{\partial(\rho\phi)}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\phi\vec{u})=\left(\phi\frac{\partial\rho}{\partial t}+\rho\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)+(\phi(\nabla\cdot(\rho\vec{u}))+\rho\vec{u}\cdot\nabla\phi) \end{align} \]

  5. 根据连续性方程,质量守恒要求:

    \[\begin{equation} \frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\vec{u})=0 \end{equation} \]

    注意到方程23中:

    \[\begin{equation} \phi \frac{\partial\rho}{\partial t}+\phi \cdot \nabla\cdot(\rho\vec{u})=0 \end{equation} \]

    故结合后的方程可写作:

    \[\begin{equation} \frac{\partial(\rho\phi)}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\phi\vec{u})=\rho\frac{\partial\phi}{\partial t}+\rho\vec{u}\cdot\nabla\phi \end{equation} \]

  6. 注意到方程26中右侧项恰等于\(\rho\)乘以\(\frac{D\phi}{Dt}\)。故可将推广后的守恒方程写作:

    \[\begin{equation} \frac{\partial(\rho\phi)}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\phi\vec{u})=\rho\left(\frac{\partial\phi}{\partial t}+\vec{u}\cdot\nabla\phi\right)=\rho\frac{D\phi}{Dt} \end{equation} \]

    其物理意义为:

    \[物理量\phi随时间的变化率+净流出速率=总变化率 \]

动量守恒

牛顿第二定律表明,一个流体粒子动量的改变=作用在流体粒子上力的总和。

对于一个流体粒子,在x, y, z方向,每单位体积动量增加的速度为:

\[\begin{equation} \rho\frac{Du}{Dt},~\rho\frac{Dv}{Dt},~\rho\frac{Dw}{Dt} \end{equation} \]

注意这里:动量\(P=mv\)(这里v不代表特定于y方向的速度,而是泛指速度),每单位体积动量即为\(\rho v\),则每单位体积动量增加的速度即为密度\(\times\)速度关于时间的导数。

作用于流体元上的力:

  • 表面力:作用于流体表面,由于流体元与其周围流体或边界的接触产生。

    1. 压力力(pressure forces)

      • 由于流体中的压力梯度作用于流体元表面产生的力;
      • 垂直于流体元表面,指向外界(不过这里好像也不一定,要看具体流动是出微元还是进);
      • 导致流体加减速,是推动流体流动的重要因素。
    2. 黏性力(viscous forces)

      • 由于流体的黏性(流体分子之间的内摩擦),在流体元表面产生的剪切应力
      • 在流体层之间起阻力作用,特别是在层流和接触边界处;
      • 造成速度梯度(摩擦-相对速度),使得流体从高速区域向低速区域传递动量,最终影响整个流体的流动特性;
      • 补充:摩擦力是分子间的吸引力(如范德华力)、原子间的电磁排斥力、原子间电子交换或共享形成弱键合(如氢键)等等电磁力在宏观下的体现
  • 体力(body forces,不是HP):外界力场直接作用于流体的每个体积单元内部。

    1. 重力,影响流体压力分布、密度梯度等。
    2. 离心力(centrifugal force):在旋转系统(如地球自转引起的大气、海洋环流)中,由于旋转参考系下的惯性效应产生的力,指向远离旋转轴的方向。
    3. 科里奥利力(Coriolis force):旋转参考系下的虚拟力,在地球表面上主要由地球自转引起。在北半球,流体运动向右偏;在南半球,流体运动向左偏。
    4. 电磁力(electromagnetic force):带电流体元在电场和磁场中所受的洛伦兹力,在工程力学中常用于控制电解液、等离子体的运动。

一般地,在动量方程中,我们将表面力(压力和黏性力)视为主要项并将它们分开考虑,而将体力视为源项。

通过压力和9个粘性应力分量,我们定义了流体元素的应力状态。

image

该图是为x方向动量方程准备的,故只画出了6个表面沿x方向走的力。

注意,图中所示的物理量变化速率仍然运用了一阶泰勒级数展开,具体推导过程见质量守恒部分,方程2-5:

\[\begin{align}f(x+\delta x)=f(x)+\frac{df(x)}{dx} \delta x\end{align} \]

考虑x方向,由于压力P和应力分量\(\tau_{xx}\),\(\tau_{yx}\)和\(\tau_{zx}\)造成的总力。

如上图所示,考虑一对面(E,W)(东/右侧壁面,西/左侧壁面,被x轴穿过的一对,上北下南左西右东),把图示力加一下,得:

\[\begin{equation} \begin{aligned} &\left[\left(p-\frac{\partial p}{\partial x}\frac{1}{2} \delta x\right)-\left(\tau_{xx}-\frac{\partial\tau_{xx}}{\partial x}\frac{1}{2} \delta x\right)\right]\delta y\delta z \\ &+\left[-\left(p+\frac{\partial p}{\partial x}\frac{1}{2}\delta x\right)+\left(\tau_{xx}+\frac{\partial\tau_{xx}}{\partial x}\frac{1}{2}\delta x\right)\right]\delta y\delta z\\&=\left(-\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{xx}}{\partial x}\right)\delta x\delta y\delta z \end{aligned} \end{equation} \]

注意,这里考虑了4个力:两个表面上的压力和黏性力,而下面两个方程是不考虑压力的,因为压力垂直于流体元表面

类似地,对于另一对面(N,S)(上面和底下面,被y轴穿过),有:

\[\begin{equation} -\left(\tau_{yx}-\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}\frac{1}{2}\delta y\right)\delta x\delta z+\left(\tau_{yx}+\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}\frac{1}{2}\delta y\right)\delta x\delta z=\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}\delta x\delta y\delta z \end{equation} \]

而对于(T,B)(前面和后面,被z轴穿过),有:

\[\begin{equation} -\left(\tau_{zx}-\frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z}\frac{1}{2}\delta z \right)\delta x\delta y+\left(\tau_{zx}+\frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z}\frac{1}{2}\delta z \right)\delta x\delta y=\frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z}\delta x\delta y\delta z \end{equation} \]

把上述方程30、31、32相加,可得由上述表面力导致的,该流体微元每单位体积受到的总力,也就是该流体微元在x方向的每单位体积动量变化速度:

\[\begin{equation} \rho \frac{Du}{Dt}=\frac{\partial(-p+\tau_{xx})}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z} \end{equation} \]

类似地,y方向的动量方程为:

\[\begin{equation} \rho \frac{Dv}{Dt}=\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial\left(-p+\tau_{yy}\right)}{\partial y}+\frac{\partial\tau_{zy}}{\partial z} \end{equation} \]

z方向的动量方程:

\[\begin{equation} \rho\frac{Dw}{Dt}=\frac{\partial\tau_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial(-p+\tau_{zz})}{\partial z} \end{equation} \]

能量守恒

基于热力学第一定律:

\[\begin{equation} \begin{aligned} 流体微元能量增加速度=\\净热量增加速度+作用于流体微元上的净功增加速度 \end{aligned} \end{equation} \]

定义一个流体微元/流体粒子每单位体积的能量变化速率为:

\[\rho \frac{DE}{Dt} \]

标签:方程,partial,推导,align,phi,体积,rho,delta,frac
From: https://www.cnblogs.com/yukibvvd/p/18527577/3-limited-volume-method-derivative-equation-18

相关文章

  • 3 有限体积法:推导方程
    3有限体积法:推导方程基本原理和目标(注意:这一节看不懂没关系,在后面的推导中会慢慢用到)质量、动量和能量的守恒流体的质量守恒动量改变的速度=一个流体粒子上受到的力的总和(牛顿第二定律)能量改变的速度=一个流体粒子吸收的热量,和作用在其上的功的总和(热力学第一定律)......
  • 3 有限体积法:推导方程
    3有限体积法:推导方程基本原理和目标(注意:这一节看不懂没关系,在后面的推导中会慢慢用到)质量、动量和能量的守恒流体的质量守恒动量改变的速度=一个流体粒子上受到的力的总和(牛顿第二定律)能量改变的速度=一个流体粒子吸收的热量,和作用在其上的功的总和(热力学第一定律)......
  • 3 有限体积法:推导方程
    3有限体积法:推导方程基本原理和目标(注意:这一节看不懂没关系,在后面的推导中会慢慢用到)质量、动量和能量的守恒流体的质量守恒动量改变的速度=一个流体粒子上受到的力的总和(牛顿第二定律)能量改变的速度=一个流体粒子吸收的热量,和作用在其上的功的总和(热力学第一定律)......
  • 3 有限体积法:推导方程
    3有限体积法:推导方程基本原理和目标(注意:这一节看不懂没关系,在后面的推导中会慢慢用到)质量、动量和能量的守恒流体的质量守恒动量改变的速度=一个流体粒子上受到的力的总和(牛顿第二定律)能量改变的速度=一个流体粒子吸收的热量,和作用在其上的功的总和(热力学第一定律)......
  • 3 有限体积法:推导方程
    3有限体积法:推导方程基本原理和目标(注意:这一节看不懂没关系,在后面的推导中会慢慢用到)质量、动量和能量的守恒流体的质量守恒动量改变的速度=一个流体粒子上受到的力的总和(牛顿第二定律)能量改变的速度=一个流体粒子吸收的热量,和作用在其上的功的总和(热力学第一定律)......
  • 3 有限体积法:推导方程
    3有限体积法:推导方程基本原理和目标(注意:这一节看不懂没关系,在后面的推导中会慢慢用到)质量、动量和能量的守恒流体的质量守恒动量改变的速度=一个流体粒子上受到的力的总和(牛顿第二定律)能量改变的速度=一个流体粒子吸收的热量,和作用在其上的功的总和(热力学第一定律)......
  • 【论文复现】神经网络的公式推导与代码实现
    ......
  • 二元一次不定方程(Exgcd)(更方便的解法)
    扩展欧几里得算法(Exgcd)裴蜀定理对于任意一组整数\(a,b\),存在一组整数\(x,y\),满足\(ax+by=\gcd(a,b)\)。Proof:考虑数学归纳法。当\(b=0\)时,由于\(\gcd(a,0)=a\),则对于\(ax+0y=a\)这个不定方程,\(x=1\),\(y\)取任意整数。假设存在一组整数\(x,y\),满足$bx+(a\bmodb)y......
  • 机器学习入门基础----白板推导笔记输出
    为了能够建立知识学习后输出体系,开设这个系列,旨在通过记录博客输出学习到的机器学习内容,笔者所学为B站upshuhuai008白板推导系列,记录可能比不上原创,也可能有没理解不严谨的地方,请善意指正。感兴趣的可以去看UP白板-------------------------------------------------------------......
  • uniapp 图片体积太大,压缩文件
    functioncompressImage(file,maxWidth,maxHeight,quality,callback){//创建FileReader读取文件letreader=newFileReader();reader.readAsDataURL(file);reader.onload=e=>{letimg=newImage();img.src=e.target.result;......