3 有限体积法：推导方程
基本原理和目标
（注意：这一节看不懂没关系，在后面的推导中会慢慢用到）
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质量、动量和能量的守恒
- 流体的质量守恒
- 动量改变的速度 = 一个流体粒子上受到的力的总和（牛顿第二定律）
- 能量改变的速度 = 一个流体粒子吸收的热量，和作用在其上的功的总和（热力学第一定律）
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推导出控制流动的偏微分方程
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通过牛顿模型描述粘性应力，推导出纳维-斯托克斯方程
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控制流体行为的方程和传输方程是相似的
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把传输方程的积分形式应用于有限时间间隔和有限控制体积
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把物理现象分为椭圆型、抛物线型、双曲线型
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将流体看作一个连续体（continuum）
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考虑一个小流体元素，其边长为\(\delta x\)，\(\delta y\)，\(\delta z\)
三维物理量守恒
质量守恒
一个流体元素中质量的增加速度 = 流入流体元素的净流动速度
质量增加速度：
\[\begin{align}\frac{\partial}{\partial t}(\rho\delta x\delta y\delta z)=\frac{\partial\rho}{\partial t}(\delta x\delta y\delta z)\end{align} \]注意：这里\(\rho\delta x\delta y\delta z\)可理解为\(\rho \delta V\)，也就是代表了该流体微元的总质量。
然后求质量关于时间的一阶导，就是质量的净增加速度了。
穿过流体元素边界，流入流体元素的净质量流动速率为：
其中，约定流入流体微元的质量流动标正号，流出的标负号。
注意这里是如何运用泰勒级数展开的（以x方向，即图中横着的方向为例）：
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在点x处的质量流动速率密度（即单位面积的质量流率）为\(\rho u\)；
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使用一阶泰勒级数展开：
\[\begin{align}f(x+\delta x)=f(x)+\frac{df(x)}{dx} \delta x\end{align} \] -
在\(x-\frac{1}{2} \delta x\)（即流入处）：
\[\begin{align} f(x-\frac{1}{2}\delta x)&=f(x)-\frac{\partial f(x)}{\partial x}\cdot \frac{1}{2}\delta{x}\\ &=\rho u-\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}\cdot \frac{1}{2}\delta{x} \end{align} \]在\(x+\frac{1}{2} \delta x\)（即流出处）同理，此处不再展示。
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x方向流入的真正质量流动速率为（即乘上个截面面积）：
\[\begin{align}\left(\rho u-\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}\frac12\delta x\right)\delta y\delta z\end{align} \]
把六个方向（x，y，z方向的流入和流出）加一下，可得：
\[\begin{align} \begin{gathered} \left(\rho u-\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}\frac12\delta x\right)\delta y\delta z-\left(\rho u+\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}\frac12\delta x\right)\delta y\delta z \\ +\left(\rho v-\frac{\partial(\rho v)}{\partial y}\frac{1}{2}\delta y\right)\delta x\delta z-\left(\rho v+\frac{\partial(\rho v)}{\partial y}\frac{1}{2}\delta y\right)\delta x\delta z \\ +\left(\rho w-\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}\frac{1}{2}\delta z\right)\delta y\delta x-\left(\rho w+\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}\frac{1}{2}\delta z\right)\delta y\delta x \end{gathered}\end{align} \]化简可得最终穿过流体元素边界，流入流体元素的净质量流动速率：
\[\begin{align}\left(\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial(\rho v)}{\partial y}+\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}\right)\delta x\delta y\delta z\end{align} \]那么，我们可以得到质量守恒方程：
\[\begin{align} \frac{\partial\rho}{\partial t}(\delta x\delta y\delta z)+\left(\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial(\rho v)}{\partial y}+\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}\right)\delta x\delta y\delta z=0\end{align} \]把\(\delta x \delta y \delta z\)消掉，可得：
\[\begin{align}&\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial(\rho v)}{\partial y}+\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}=0 \\&\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\boldsymbol{u})=0\end{align} \]注意，这里的Nabla算子：
\[\begin{align} \nabla=\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial z} \end{align} \]上述方程可表示在可压缩流体中的某一点，非稳态、三维流动下的质量守恒或连续性方程。
而对于不可压缩流动，密度是守恒的，此时：
\[\begin{align} &\nabla\cdot\boldsymbol{u}=0\\ \quad&\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0 \end{align} \]推广：物理量守恒
现设有一物理量在每单位质量的值为\(\phi\)。
沿着一个流体粒子的轨迹，对函数\(\phi\)的总（total）或实质（substantive）导数可表示为：
\[\begin{align} \frac{D\phi}{Dt}=\frac{\partial\phi}{\partial t}+\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial\phi}{\partial z}\frac{dz}{dt}\end{align} \]注意，流体粒子会随着流动而移动，故：
\[\begin{align} \frac{dx}{dt}=u,~\frac{dy}{dt}=v,~\frac{dz}{dt}=w \end{align} \]由此可得，\(\phi\)的实质导数可写作：
\[\begin{align} \frac{D\phi}{Dt}&=\frac{\partial\phi}{\partial t}+u\frac{\partial\phi}{\partial x}+v\frac{\partial\phi}{\partial y}+w\frac{\partial\phi}{\partial z}\\ &=\frac{\partial\phi}{\partial t}+\boldsymbol{u}\cdot\nabla\phi \end{align} \]该方程表示，该物理量随着时间的变化+流体粒子在空间中的运动与物理量在空间中变化的叠加效应=单位质量物质的\(\phi\)属性沿着一个流体微元运动轨迹的总变化率。
那么，对于一个流体粒子而言，其物理量\(\phi\)每单位体积的变化速度为：
\[\begin{align} \rho\frac{D\phi}{Dt}=\rho\left(\frac{\partial\phi}{\partial t}+\boldsymbol{u}\cdot\nabla\phi\right) \end{align} \]下一步，我们向任意守恒的物理量（arbitrary conserved property）推广（generalize）出其守恒方程：
（注意：别直接用这个方程，这个是来自PPT的，请参见下面的方程27）
\[\begin{align} \frac{\partial(\rho\phi)}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\phi\boldsymbol{u})=\rho\left[\frac{\partial\phi}{\partial t}+\boldsymbol{u}\cdot\nabla\phi\right]+\phi\left[\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\boldsymbol{u})\right]=\rho\frac{D\phi}{Dt} \end{align} \]其具体推导过程为：
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原实质导数参见方程17：\(\frac{D\phi}{Dt}=\frac{\partial\phi}{\partial t}+\boldsymbol{u}\cdot\nabla\phi\)
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首先，推广到密度和物理量一起，即考虑\(\rho \phi\)随时间的变化率，此时使用乘积法则：
\[\begin{align} d(uv)=udv+vdu \end{align} \]利用该法则，有：
\[\begin{equation} \frac{\partial(\rho\phi)}{\partial t}=\phi\frac{\partial\rho}{\partial t}+\rho\frac{\partial\phi}{\partial t} \end{equation} \] -
下一步，考虑\(\rho \phi\)在空间上的变化，加入流体运动速度\(\boldsymbol{u}\)（这里加粗代表x，y，z三个方向的速度矢量），即对\(\rho \phi \boldsymbol{u}\)取散度，三个物理量都可能随着位置变化：
\[\begin{equation} \nabla\cdot(\rho\phi\vec{u})=\phi[\nabla\cdot(\rho\vec{u})]+(\rho\vec{u})\cdot\nabla\phi \end{equation} \] -
将过程2和过程3的结果，即时间导数和空间上的散度项结合起来：
\[\begin{align} \frac{\partial(\rho\phi)}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\phi\vec{u})=\left(\phi\frac{\partial\rho}{\partial t}+\rho\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)+(\phi(\nabla\cdot(\rho\vec{u}))+\rho\vec{u}\cdot\nabla\phi) \end{align} \] -
根据连续性方程，质量守恒要求：
\[\begin{equation} \frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\vec{u})=0 \end{equation} \]注意到方程23中：
\[\begin{equation} \phi \frac{\partial\rho}{\partial t}+\phi \cdot \nabla\cdot(\rho\vec{u})=0 \end{equation} \]故结合后的方程可写作：
\[\begin{equation} \frac{\partial(\rho\phi)}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\phi\vec{u})=\rho\frac{\partial\phi}{\partial t}+\rho\vec{u}\cdot\nabla\phi \end{equation} \] -
注意到方程26中右侧项恰等于\(\rho\)乘以\(\frac{D\phi}{Dt}\)。故可将推广后的守恒方程写作：
\[\begin{equation} \frac{\partial(\rho\phi)}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\phi\vec{u})=\rho\left(\frac{\partial\phi}{\partial t}+\vec{u}\cdot\nabla\phi\right)=\rho\frac{D\phi}{Dt} \end{equation} \]其物理意义为：
\[物理量\phi随时间的变化率+净流出速率=总变化率 \]
动量守恒
标签：方程,partial,推导,align,phi,体积,rho,delta,frac From： https://www.cnblogs.com/yukibvvd/p/18527497/3-limited-volume-method-derivative-equation-18