矩阵对角化

一个方阵是否可对角化，取决于它是否拥有足够的线性无关的特征向量。 让我们详细分解这个条件：

1. 特征值和特征向量:

• 特征值 (Eigenvalue): 对于一个方阵 A (n x n)，一个标量 λ 被称为 A 的特征值，如果存在非零向量 x 使得：

  A x = λ x Ax = \lambda x Ax=λx

  x 被称为对应于特征值 λ 的特征向量。

• 特征空间 (Eigenspace): 对应于特征值 λ 的所有特征向量，加上零向量，构成了特征空间。特征空间是一个向量子空间。

2. 可对角化的条件:

一个 n x n 的方阵 A 可对角化的充分必要条件是：

• 条件一：A 具有 n 个线性无关的特征向量。

  这意味着 A 有足够的特征向量来构成 Rⁿ 空间的一组基。如果 A 有 n 个不同的特征值，那么它就满足这个条件（因为对应于不同特征值的特征向量线性无关）。但即使 A 有重复的特征值，也可能满足这个条件，只要每个特征值的几何重数等于代数重数。

• 条件二 (等价于条件一)：A 的所有特征空间的维数之和等于 n。

  每个特征值的几何重数等于其特征空间的维数。所以这个条件意味着每个特征值的几何重数等于其代数重数。

3. 代数重数和几何重数:

• 代数重数 (Algebraic Multiplicity): 特征值 λ 的代数重数是指 λ 作为 A 的特征多项式 d e t ( A − λ I ) = 0 det(A - \lambda I) = 0 det(A−λI)=0 的根的重数。 它表示特征值 λ 在特征多项式的根中的重复次数。

• 几何重数 (Geometric Multiplicity): 特征值 λ 的几何重数是指对应于 λ 的特征空间的维数 (即线性无关特征向量的个数)。它表示对应于 λ 的线性无关特征向量的最大数目。

几何重数与代数重数的关系:

对于任何特征值 λ，其几何重数总是小于等于其代数重数：

1 ≤ 几何重数 ( λ ) ≤ 代数重数 ( λ ) 1 \le \text{几何重数}(\lambda) \le \text{代数重数}(\lambda) 1≤几何重数(λ)≤代数重数(λ)

4. 可对角化的总结:

一个方阵 A 可对角化的充分必要条件是：对于 A 的每一个特征值，其几何重数等于其代数重数。 换句话说，每个特征值都有足够多的线性无关的特征向量来构成其特征空间的基。

5. 不可对角化的例子:

考虑矩阵：

A = [ 2 1 0 2 ] A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} A=[20​12​]

其特征多项式为 ( 2 − λ ) 2 = 0 (2 - \lambda)^2 = 0 (2−λ)2=0，所以只有一个特征值 λ = 2，其代数重数为 2。但是，对应于 λ = 2 的特征向量只有一个线性无关的向量 (例如， [ 1 0 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} [10​])，几何重数为 1。由于几何重数(1) 不等于代数重数(2)，这个矩阵不可对角化。

总之，理解矩阵可对角化的关键在于理解特征值、特征向量、代数重数和几何重数之间的关系。只有当每个特征值的几何重数等于其代数重数时，矩阵才能对角化。 这保证了我们能找到足够的线性无关的特征向量来构成一个基，从而将矩阵表示成对角矩阵的形式。