Part 1
在开始正文部分的讨论前，先补充一些先前在 Jordan 标准型理论的构建中没考虑到的问题.
设 \(\mathcal A,\mathcal B\) 是（域 \(\mathbb F\) 上） \(n\) 维线性空间 \(V\) 上的线性变换.
命题 1：设 \(f,g\in \mathbb F[x]\)，则 \(f(\mathcal A)\) 与 \(g(\mathcal A)\) 可交换.
证明：因为 \(f(x)g(x)=g(x)f(x)\)，将 \(\mathcal A\) 作为环 \({\rm Hom}(V,V)\) 上的元素代入得 \(f(\mathcal A)g(\mathcal A)=g(\mathcal A)f(\mathcal A)\)， 即 \(f(\mathcal A)\) 与 \(g(\mathcal A)\) 可交换.
命题 2：\(\mathcal B\) 与 \(\mathcal A\) 可交换的充要条件为，对于任意 \(f\in \mathbb F[x]\)，\(\mathcal B\) 与 \(f(\mathcal A)\) 可交换.
证明：必要性仅需考虑 \(f(x)=x\)，下证充分性：
若 \(\mathcal B\) 与 \(\mathcal A\) 可交换，则 \(\mathcal B\mathcal A=\mathcal A\mathcal B\)，考虑归纳证明对于任意 \(n\in\mathbb N\)， \(\mathcal B\) 与 \(\mathcal A^n\) 可交换：
(i) \(\mathcal B\) 与 \(\mathcal I=\mathcal A^0\) 可交换，即上述命题对 \(n=0\) 成立.
(ii) 若上述命题对某个自然数 \(n\) 成立，则 \(\mathcal B\mathcal A^n=\mathcal A^n\mathcal B\)，则 \(\mathcal B\mathcal A^{n+1}=\mathcal B\mathcal A^n\mathcal A=\mathcal A^n\mathcal B\mathcal A=\mathcal A^n\mathcal A\mathcal B=\mathcal A^{n+1}\mathcal B\)，即 \(\mathcal B\) 与 \(\mathcal A^{n+1}\) 可交换.
由归纳原理可知证毕.
则对于任意 \(f\in \mathbb F[x]\)，令 \(f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n.\) 我们有
\[\mathcal B f(\mathcal A)=\sum_{i=1}^na_i\mathcal B\mathcal A^i=\sum_{i=1}^na_i\mathcal A^i\mathcal B=f(\mathcal A)\mathcal B \]即 \(\mathcal B\) 与 \(f(\mathcal A)\) 可交换.
命题三：若 \(\mathcal A\) 与 \(\mathcal B\) 可交换，则 \(\ker\mathcal A,{\rm Im}\mathcal A\) 是 \(\mathcal B\) 的不变子空间.
证明：任取 \(\alpha\in\ker\mathcal A\)，则 \(\mathcal A(\mathcal B\alpha)=\mathcal B(\mathcal A\alpha)=\mathcal B(0)=0\)，即 \(\mathcal B\alpha\in\ker\mathcal A\)，即 \(\ker A\) 是 \(\mathcal B\) 的不变子空间.
任取 \(\gamma\in{\rm im}\mathcal A\)，则存在 \(\alpha\in V\)，使得 \(\gamma=\mathcal A\alpha\)，则 \(\mathcal B\gamma=\mathcal B(\mathcal A\alpha)=\mathcal A(\mathcal B\alpha)\in{\rm im}\mathcal A\)， 即 \({\rm im}\mathcal A\) 是 \(\mathcal B\) 的不变子空间.
Part 2
若 \(\mathcal A\) 存在约当标准型，则 \(\mathcal A\) 的特征多项式 \(f(\lambda)\) 可以分解为一次因式的乘积
\[f(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{l_1}(\lambda-\lambda_2)^{l_2}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{l_s} \]则有 \(V=\ker(\mathcal A-\lambda_1\mathcal I)^{l_1}\oplus\ker(\mathcal A-\lambda_2\mathcal I)^{l_2}\oplus\cdots\oplus\ker(\mathcal A-\lambda_s\mathcal I)^{l_s}\).
若 \(\mathcal B\) 与 \(\mathcal A\) 可交换，则 \(\mathcal B\) 与每个 \((\mathcal A-\lambda_i\mathcal I)^{l_i}\) 可交换，则 \(V\) 的根子空间是 \(\mathcal B\) 的不变子空间.
我们指出，\(\mathcal B\) 与 \(\mathcal A\) 可交换，当且仅当 \(V\) 的每个根子空间都是 \(\mathcal B\) 的不变子空间，且对于任意 \(1\le i\le s\)，\(\mathcal B|W_i\) 与 \(\mathcal A|W_i-\lambda_i\mathcal I\) 可交换.
因此为刻画 \(\mathcal B\) 的形态，我们仅需考虑与某个线性空间上的幂零变换可交换的线性变换.
Part 3
下令 \(V\) 是域 \(\mathbb F\) 上的 \(r\) 维线性空间，\(\mathcal A\) 是其上的幂零变换，\(\mathcal B\) 是其上任一线性变换.
正如先前指出的那样，\(V\) 是若干 \(\mathcal A-\)强循环子空间的直和
\[V=\bigoplus_{i=1}^s\langle\mathcal A^{l_i-1}\alpha_i,\cdots,\mathcal A\alpha,\alpha\rangle \]固定 \(1\le j\le s\)，我们令
\[\mathcal B\alpha_j=\sum_{i=1}^sa_{ij}^{(1)}\alpha+a_{ij}^{(2)}\mathcal A\alpha+\cdots+a_{ij}^{(l_i)}\mathcal A^{l_i-1}\alpha_i \]若 \(\mathcal B\) 与 \(\mathcal A\) 可交换，则对于任意 \(0\le k< l_j\)，\(\mathcal B\) 与 \(\mathcal A^k\) 可交换，则
\[\mathcal B(\mathcal A^k\alpha_j)=\mathcal A^k(\mathcal B\alpha_j)=\sum_{i=1}^sa_{ij}^{(1)}\mathcal A^k\alpha+a_{ij}^{(2)}\mathcal A^{k+1}\alpha+\cdots+a_{ij}^{(k-1)}\mathcal A^{l_i-1}\alpha \]于是我们写出了 \(\mathcal B\) 在这个基下的矩阵.
反过来，对任意 \(1\le i,j\le s,1\le t\le l_i\) 指定系数 \(a_{ij}^t\)，我们容易验证，由上述方式确定的矩阵是某个与 \(\mathcal A\) 可交换的线性变换 \(\mathcal B\) 在这个基下的矩阵.
Part 4
设 \(A\in M_n(\mathbb F)\) 且存在约当标准型 \(J\)，则存在可逆矩阵 \(P\)，使得 \(A=P^{-1}JP.\)
说明：我们认为 \(J\) 的主对角线上相同的特征值相邻排列.
任意与 \(A\) 可交换的矩阵都可由如下方式写出：
对于 \(A\) 的任意特征值 \(\lambda_0\)，设其几何重数为 \(s\)，则 \(J\) 上对应于 \(\lambda_0\) 的部分有 \(s\) 个约当块. 设其大小分别为 \(l_1,l_2,\cdots,l_s\)，则我们可以将该部分分为 \(s^2\) 个块
\[\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots&B_{1s}\\B_{12}&B_{22}&\cdots&B_{2s}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\B_{s1}&B_{s2}&\cdots&B_{ss}\end{pmatrix} \]其中 \(B_{ij}\) 是 \(l_i\times l_j\) 的矩阵.
将 \(B_{ij}\) 的最后一列赋值为 \((c_{l_i},\cdots,c_2,c_1)^{T}\)，并将所有最后一列的元素所引出的从右下到左上的对角线赋为与其相同的元素.
至此，我们对每个特征值构造出了相应的矩阵，将这些矩阵按特征值的排列顺序排成的分块对角矩阵记为 \(K.\)
再令 \(B=P^{-1}KP\)，\(B\) 是与 \(A\) 可交换的矩阵.
标签：一类,矩阵,交换,cdots,mathcal,alpha,lambda From： https://www.cnblogs.com/space-of-mistery/p/18488048