本博客主要记录了一名菜鸡蒟蒻学数学的一些记录.
观前提醒：
本蒟蒻数学不好，加上表达能力较差，清多多谅解qwq.
1.自然数A的全体约数之和：
如果存在自然数A,那么我们定义A的质因子分别为 \({p_1,p_2,...,p_k}\) ，被拆解的次数分别为 \({a_1,a_2,...,a_k}\).根据唯一分解定理，A可以被表示为：
\[A = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot p_3^{a_3} \cdot ... \cdot p_k^{a_k} \]那么知道了这个，跟约数之和有什么关系呢？
前置：自然数A的约数个数：
先举一个例子，前面提到的条件里， \(p_1^{a_1}\) 有多少个约数？
根据约数的定义，我们可以很快得出分别为 \(p_1^0,p_1^1,...p_1^{a_1}\)，总共 \((a_1 + 1)\) 个.
这是一个例子，且仅当 \(p_1\) 是一个质数.
可是，合数是可以被拆为多个质数的，是不是意味着，质因子之间的约数相乘的结果也是该合数的约数？
这个原因很好解释.因为 \(p_i\) 是A的约数，\(p_i^{a_i}\) 中包含 \(p_i\)，所以 \(p_i^{a_i}\) 也是A的约数.
因为，质因子之间互不影响，所以可以利用乘法原理求解.可得出总约数个数为:
\[(a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)...(a_k+1) = \prod_{i = 1}^{i \le n} (a_i + 1) \]----------------------------------------------------------分割线-----------------------------------------------------------------------------
现在，我们回到题目，同时我们也得知了A的约数是由A的各个 \(p_i^{a_i}\) 的约数中挑选相乘得来的.
注， $p_i^0 也是约数，如果每个都只选零次方，那么也只记作一种.
从约数总个数公式中能得出有 \((a_1 + 1)(a_2 + 1)(a_3 + 1)...(a_k + 1)\) 种选法，那么根据定义就能推出A的全体约数和为：
\[(p_1^0 + p_1^1 + ... + p_1^{a_1})(p_2^0 + p_2^1 + ... + p_2^{a_2})...(p_k^0 + p_k^1 +... + p_k^{a_k}) = \prod_{i = 1}^{k} (\sum_{j = 0}^{a_i} p_i^{j}) \] 标签：约数,...,之旅,cdot,自然数,个数,jr,数学 From： https://www.cnblogs.com/Little-Knight-qwq/p/18490320