5 虚数

虚数总是让我感到困惑:

• 这是一个数学抽象概念，方程是可处理它。
• 大学才会用到它。

我们将用我们最喜欢的工具来攻克这个课题：

• 关注关系，而非机械公式。
• 将复数视为数字系统的升级，就像零、小数和负数一样。
• 使用直观的图表，而不仅仅是文字，来理解概念。

5.1 真正理解负数

负数被认为是荒谬的，是 “使整个方程学说变得黑暗 ”的东西（弗朗西斯-马塞雷斯，1759 年）。负数不是我们可以触摸或握住的东西，但它能很好地描述某些关系（比如债务）。这是一个有用的虚构。
我不用说 “我欠你 30”，也不用读单词来判断我是欠是不欠，我可以写下“-30”，然后知道这意味着我欠了一屁股债。如果我赚了钱，还了债（-30 + 100 = 70），我就可以轻松记录这笔交易。之后，我的账户余额为 +70，这意味着我没有负债。正负符号会自动追踪方向。你不需要用一句话来描述每笔交易的影响。数学变得更简单、更优雅。负数是否 “有形 ”并不重要。

5.2 虚数

虚数也有类似的故事。我们可以整天解这样的方程：
x² = 9 答案是 3 和 -3。 但是，x² = -9 , 大多数人第一次看到这个问题时都会感到恐惧。
“虚数 ”和其他数字一样正常（或者说一样虚假）。它们是描述世界的工具。本着同样的精神假设某个数字 i 存在，其中i² = -1 也就是说，你用 i 乘以它自己，得到-1。

5.3 对负数和复数的直观理解

方程 x² = 9 的真正含义是这样的：
1· x² = 9什么样的变换 x 应用两次就能把 1 变成 9？
答案有两个：“x = 3 ”和 “x = -3”： 也就是说，你可以 “乘以 ”3，也可以 “乘以 3 并翻转”（翻转或取相反的值是乘以负数的一种解释）。
现在让我们来想想 x² =-1，它实际上是 1*x2 =-1，什么变换 x 应用两次就能把 1 变成-1？嗯。
如果我们把 x 想象成 “旋转 90 度”，那么 x 乘以两次就会旋转 180 度，或者说从 1 翻转到-1！我们还可以沿另一个方向（顺时针）旋转两次，把 1 变成-1。这就是 “负 ”旋转，或者说乘以 -i：

如果我们乘以-i 两次，就会把 1 变成-i，把-i 变成-1。因此，-1 实际上有两个平方根：i 和 -i。

• i 是衡量一个数字的 “新虚数维度” - i（或-i）是旋转后数字 “变成 ”的样子
• i 乘以 i 是逆时针旋转 90 度 - i 乘以-i 是顺时针旋转 90 度 - 向任一方向旋转两次都是-1：它使我们回到正数和负数的 “常规 ”维度。

5.4 寻找规律

让我们深入研究一下细节。当与负数（如-1）相乘时，你会得到一种模式：1,−1,1,−1,1,−1,1,−1...
由于-1 不会改变数字的大小，只会改变符号，因此可以来回翻转。对于某个数字 “x”，你会得到x,-x,x,-x,x,-x...
这个想法很有用。数字 “x ”可以代表头发好或坏的一周。
假设周数在好与坏之间交替；这是好的一周，那么 47 周后会怎样呢？
x-^147 = x-^1 = -x 所以，-x 表示头发不好的一周。注意负数是如何 “跟踪符号 ”的--我们可以把 -147 扔进计算器，而不用计算（“第 1 周好，第 2 周不好. . 第 3 周好. . ”）。反反复复的事情都可以用负数很好地模拟出来。
好的。

• 1 = 1（这里没有问题）
• i = i（做不了什么）
• i^2 = -1 （这就是 i 的作用）
• i^3 = -i（啊，逆时针旋转 3 次 = 顺时针旋转 1 次，很好。）
• i^4 = 1（4 次旋转让我们 “绕了一圈”）
• i^5 = i （又来了。）

5.5 理解复数

还有一个细节：一个数可以既是 “实数 ”又是 “虚数 ”吗？
当然可以。谁说一定要旋转 90 度？如果我们把一只脚放在 “实 ”的维度上，另一只脚放在虚的维度上，看起来就像这样：

我们成 45 度角，实数和虚数各占一半（1 + i）。这就像一个热狗，既有芥末又有番茄酱--谁说你需要选择呢？
事实上，我们可以任意选择实数和虚数的组合，组成一个三角形。这个角度就是 “旋转角”。复数是同时具有实部和虚部的数字的别称。它们的写法是 a + bi，其中 - a 是实部 - b 是虚部。

但还有最后一个问题：复数有多大？

参考资料

• 软件测试精品书籍文档下载持续更新 https://github.com/china-testing/python-testing-examples 请点赞，谢谢！
• 本文涉及的python测试开发库 谢谢点赞！ https://github.com/china-testing/python_cn_resouce
• python精品书籍下载 https://github.com/china-testing/python_cn_resouce/blob/main/python_good_books.md
• Linux精品书籍下载 https://www.cnblogs.com/testing-/p/17438558.html

5.6 一个实际例子： 旋转

我们不会等到大学物理才使用虚数。我们今天就来试试。关于复数乘法还有很多要讲，但请记住这一点：

• 复数乘以复数的旋转角度

我们来看看。假设我在一艘船上，每向北移动 4 个单位，就向东移动 3 个单位。我想将航向逆时针旋转 45 度。
顺时针。新航向是什么？

有些高人会说："这很简单！只要取正弦、余弦、正切.... ......通量。.然后......"。. “. 破解。对不起，我弄坏了你的计算器吗？能再回答一次吗？
让我们试试更简单的方法：我们的航向是 3 + 4i（不管这个角度是多少，我们并不关心），想要旋转 45 度。那么，45 度等于 1 + i，所以我们可以乘以这个数！

这就是我们的想法：

• 原航向： 向东 3 个单位，向北 4 个单位 = 3 + 4i - 逆时针旋转 45 度 = 乘以 1 + i 如果我们把它们相乘，就得到了
  (3+4i)-(1+i) = 3+4i +3i +4i^2 = 3-4+7i = -1+7i

所以，我们的新方位是西 1 个单位（东 -1 个单位），北 7 个单位，你可以画出来并照着做。
但是 我们在 10 秒钟内就发现了这一点，而且没有接触正弦或余弦。没有矢量、矩阵，也不知道我们在哪个象限。这只是算术和代数的交叉相乘。
虚数中包含了旋转规则：它就是这样工作的。
更妙的是，结果非常有用。我们有一个标题（-1，7），而不是一个角度（atan(7/-1) = 98.13，记住我们在第 2 象限）。你到底打算如何画出并跟踪这个角度？用你随身携带的量角器？
不，你会把它转换成余弦和正弦（-.14 和 0.99），找到它们之间的合理比例（大约 1 比 7），然后画出三角形草图。复数
复杂数字比你更快，更准确，而且不需要计算器。
如果你和我一样，你会发现这种使用方式让你大开眼界。如果你不这么想，恐怕数学也不会让你心动。对不起。
三角函数是伟大的，但复杂的数字也能让丑陋的计算变得简单（比如计算余弦（a+b））。这只是预告，下一章将为你奉上大餐。

5.7 复数并非如此

这是我的基本见解的旋风之旅。看看第一张图表--现在应该明白了。

这些美丽而奇特的数字还有很多内容，但我的大脑已经疲惫不堪了。我的目标很简单：

• 让你相信，复数被认为是 “疯狂的”，但也是有用的（就像负数一样）
• 展示复数如何让某些问题变得更容易，比如旋转

如果我看起来对这个话题很感兴趣，那是有原因的。多年来，虚数一直是我的心病--缺乏直观的洞察力让我感到沮丧。
现在，我终于有了自己的见解，我迫不及待地想与大家分享。我们常常窒息自己的问题，“囫囵吞枣”，这使我们的理解非常脆弱。这些启示是我在黑暗中的一点烛光，你们会照亮自己的聚光灯。