初中数学随笔

14.1 整式的乘法：

14.1 同底数幂的乘法：

• 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

  例：\(a^2 \times a^3 = a^5，b^x \times b^y = b^{x+y}\)

14.2 幂的乘方：

• 幂的乘方，底数不变，指数相乘。

  例：\((a^2)^3 = a^6 ，(b^x)^y = b^{xy}\)

14.1.3 积的乘方：

• 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

  例：\((-2ab^3x^2)^2 = (-2)^2 \times a^2 \times b^{3^2} \times x^{2^2} = 4a^2b^6x^4\)

14.1.4 整式的乘法：

• 单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂分别相乘。对于只在一个单项式里的字母，则把它连同它的字母作为积的一个因式。

  例：\(a^3b \times 3ab^5c = 3a^4b^6c\)

• 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

  例：\(ab^2 \times (x^2+a+b) = ab^2 \times x^2 +ab^2 \times a +ab^2 \times b = ab^2x^2+a^2b^2+ab^3\)

• 多项式与多项式相乘，就是用第一个多项式的每一项 去乘 另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

  例：\((a+b^2) \times (x^2 + a + 2) = ax^2 + a \times a + 2a +b^2x^2 +b^2a+ 2b^2\)

• 同底数幂 相除，底数不变，指数相减

  也就是说：\(a^m \div a^n = a^{m-n}，a \ne 0\)

  当 \(m=n\) 时，\(a^m \div a^m = a^0 = 1\)

  我们发现：任何不等于 \(0\) 的数的 \(0\) 次方等于 \(1\) 。

• 单项式与单项式相除，把它们的系数，同底数幂分别相除。对于只在被除式单项式里的字母，则把它连同它的字母作为商的一个因式。

  例：\(a^3b^2c \div ab = a^2bc\)

• 多项式与多项式相除，就是用多项式的每一项去除单项式，再把所得的商相加。

  例：\((a^3+b^2) \div ab = \frac{a^3}{ab} + \frac{b^2}{ab} = \frac{a^2}{b} + \frac{b}{a}\)

14.2乘法公式：

• 平方差公式：

  \((a+b)(a-b) = a^2-b^2\)

  证明如下： 根据多项式 乘 多项式法则，可得
  \((a+b)(a-b) = a \times a - ab + ba - b \times b = a^2 - b^2\)

• 完全平方公式：

  \((a+b)^2 = a^2 + 2ab +b^2\)

  \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

  证明如下：

  根据多项式 乘 多项式法则，可得

  \((a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab +ba +b^2 = a^2 +2ab +b^2\)

  \((a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a^2 - ab -ba +b^2 = a^2 -2ab +b^2\)

• 杨辉三角：

杨辉三角 --- @ Seaway-Fu