单输入单输出(SISO)系统
二阶振动方程
\[m \frac{\mathrm{d}^{2}x\left(t\right)}{\mathrm{d}t^{2}}+b \frac{\mathrm{d}x\left(t\right)}{\mathrm{d}t}+kx\left(t\right)=f(t) \]令此系统的输入等于外力，即 \(u(t)=f(t)\),系统的输出等于位移，即 \(y(t)=x(t)\)。第2章介绍了经典控制理论中使用传递函数来描述系统的方法，对式(3.1.1)等号两边分别进行
拉普拉斯变换，并将\(u(t)=f(t),y(t)=x(t)\)代人进行调整，同时假设零初始条件 \(x(0)=\left.\frac{\mathrm{d}x\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0}=0\),可以得到系统的传递函数为
\[G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{ms^2+bs+k} \]对于同样的系统，在现代控制理论中则会使用状态空间方程的表达方式。状态空间方程是一个集合，它包含了系统的输入、输出及状态变量，并把它们用一系列的一阶微分方程表达出来。对于本例中的二阶系统，为了将其写成状态空间方程，需要选取合适的状态变量(State Variables),才能使二阶系统转化为一系列的一阶系统。根据这个要求，选取两个状态变量 \(z_1(t)\)和 \(z_2(t)\),其中
\[\begin{aligned}&z_{1}(t)=x(t)\\&z_{2}(t)=\frac{\mathrm{d}z_{1}(t)}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}\end{aligned} \]取 \(z_2(t)\)对时间的导数，将 \(z_{1}(t)=x(t)，u(t)=f(t)\)代入
\[\frac{\mathrm{d}z_{2}\left(t\right)}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^{2}x\left(t\right)}{\mathrm{d}t^{2}}=\frac{1}{m}\Big(f\left(t\right)-b \frac{\mathrm{d}x\left(t\right)}{\mathrm{d}t}-kx\left(t\right)\Big)\\=\frac{1}{m}u\left(t\right)-\frac{b}{m}z_{2}\left(t\right)-\frac{k}{m}z_{1}\left(t\right) \]写成矩阵表达式
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\begin{bmatrix}z_1(t)\\z_2(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\-\frac{k}{m}&-\frac{b}{m}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}z_1(t)\\z_2(t)\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}0\\ \frac{1}{m}\end {bmatrix}u(t) \]而系统的输出 \(y(t)=x(t)\)，即
\[y(t)=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}z_1(t)\\ z_2(t)\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u(t)\end{bmatrix} \]上述形式可推广并得到状态空间方程的一般形式,即
\[\frac{\mathrm{d}z\left(t\right)}{\mathrm{d}t}=Az\left(t\right)+Bu\left(t\right)\\y\left(t\right)=Cz\left(t\right)+Du\left(t\right) \]\(z(t)\)是状态变量，是一个 \(n\) 维向量\(, z(t)=\begin{bmatrix}z_1(t),z_2(t),\cdots,z_n(t)\end{bmatrix}^\mathrm{T};\)
\(y(t)\)是系统输出，是一个 \(m\) 维向量, \(\mathbf{y} ( t) = [ y_1( t) , y_2( t) , \cdots , y_m( t) ] ^{\mathrm{T} };\)
\(u(t)\)是系统输入，是一个 \(p\) 维向量，\(u(t)=\begin{bmatrix}u_1(t),u_2(t),\cdots,u_p(t)\end{bmatrix}^{\mathrm{T}}\)。
这说明，当使用状态空间方程来描述系统时，有\(n\)个状态变量、\(m\)个输出和\(p\)个输入。它可以表达多状态、多输出、多输人的系统。
其中，
矩阵\(A\)是\(n\times n\)矩阵，表示系统状态变量之间的关系，称为状态矩阵或者系统矩阵。
矩阵\(B\)是\(n\times p\)矩阵，表示输人对状态变量的影响，称为输入矩阵或者控制矩阵。
矩阵\(C\) 是\(m\times n\) 矩阵 ,表示系统的输出与系统状态变量之间的关系，称为输出矩阵。矩阵\(D\)是\(m\times p\)矩阵，表示系统的输入直接作用在系统输出的部分，称为直接传递矩阵。
状态空间方程符号说明见表
多输入多输出(MIMO)
根据图 3.1,2 所示的电路网络，列出其状态空间方程表达式。其中，系统有两个输人
\(u(t)=[e_1(t),e_2(t)]^{\mathrm{T}}\)和两个输出\(\mathbf{y} ( t) = \begin{bmatrix} i_1( t) , e_{R_3}( t) \end{bmatrix} ^{\mathrm{T} }.\)
基尔霍夫电压定律
闭合回路1
\[L_1 \frac{\mathrm{d}i_1(t)}{\mathrm{d}t}+i_1(t)R_1+e_{R_3}(t)=e_1(t) \]闭合回路2
\[L_2 \frac{\mathrm{d}i_2(t)}{\mathrm{d}t}+i_2(t)R_2-e_{R_3}(t)=e_2(t) \]其中
\[e_{R_{3}}(t)=(i_{1}(t)-i_{2}(t))R_{3} \]代入
\[L_{1} \frac{\mathrm{d}i_{1}(t)}{\mathrm{d}t}+i_{1}(t)(R_{1}+R_{3})-i_{2}(t)R_{3}=e_{1}(t)\\L_{2} \frac{\mathrm{d}i_{2}(t)}{\mathrm{d}t}+i_{2}(t)(R_{2}+R_{3})-i_{1}(t)R_{3}=e_{2}(t) \]选取系统的状态变量 \(z\left(t\right)=\begin{bmatrix}z_1\left(t\right),z_2\left(t\right)\end{bmatrix}^{\mathrm{T}}\),
其中
\[z_{1}(t)=i_{1}(t) \]\[z_{2}(t)=i_{2}(t) \]代入
\[\frac{\mathrm{d}z_{1}(t)}{\mathrm{d}t}=-\left(\frac{R_{1}+R_{3}}{L_{1}}\right)z_{1}(t)+\frac{R_{3}}{L_{1}}z_{2}(t)+\frac{1}{L_{1}}e_{1}(t)\\\frac{\mathrm{d}z_{2}(t)}{\mathrm{d}t}=\frac{R_{3}}{L_{2}}z_{1}(t)-\left(\frac{R_{2}+R_{3}}{L_{2}}\right)z_{2}(t)+\frac{1}{L_{2}}e_{2}(t) \]写成矩阵形式
\[\begin{bmatrix} \frac{\mathrm{d}z_1(t)}{\mathrm{d}t}\\ \frac{\mathrm{d}z_2(t)}{\mathrm{d}t} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -\Big(\frac{R_1+R_3}{L_1}\Big)&\frac{R_3}{L_1}\\ \frac{R_3}{L_2}&-\Big(\frac{R_2+R_3}{L_2}\Big) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_1(t)\\ z_2(t) \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} \frac{1}{L_1}&0\\ 0&\frac{1}{L_2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}e_1(t)\\ e_2(t) \end{bmatrix} \]系统输出 $ y(t)=\begin{bmatrix}i_1(t),e_{R_3}(t)\end{bmatrix}^\mathrm{T}$,可以表达为
\[\mathbf{y}\left(t\right)=\begin{bmatrix}i_1\left(t\right)\\e_{R_3}\left(t\right)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\R_3&-R_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}z_1\left(t\right)\\z_2\left(t\right)\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e_1\left(t\right)\\e_2\left(t\right)\end{bmatrix} \]写成一般形式，可以得到系统的状态空间方程，即
\[\frac{\mathrm{d}z\left(t\right)}{\mathrm{d}t}=Az\left(t\right)+Bu\left(t\right) \]\[\mathbf{y}\left(t\right)=\mathbf{Cz}\left(t\right)+\mathbf{Du}\left(t\right) \]其中
\[z(t)=\begin{bmatrix}i_1(t),i_2(t)\end{bmatrix}^\mathrm{T}; y(t)=\begin{bmatrix}i_1(t),e_{R_3}(t)\end{bmatrix}^\mathrm{T}; u(t)=\begin{bmatrix}e_1(t),e_2(t)\end{bmatrix}^\mathrm{T}; \]\[\mathbf{A}= \begin{bmatrix} -\left(\frac{R_1+R_3}{L_1}\right)&\frac{R_3}{L_1}\\ \frac{R_3}{L_2}&-\left(\frac{R_2+R_3}{L_2}\right) \end{bmatrix}; \mathbf{B}= \begin{bmatrix} \frac{1}{L_1}&0\\ 0&\frac{1}{L_2} \end{bmatrix}; \mathbf{C}=\begin{bmatrix} 1&0\\R_3&-R_3\end{bmatrix}; \mathbf{B}= \begin{bmatrix}0&0 \\0&0\end{bmatrix} \] 标签：状态,方程,right,frac,bmatrix,空间,end,left,mathrm From： https://www.cnblogs.com/redufa/p/18442252