\[\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}z\left(t\right)}{\mathrm{d}t}&=Az\left(t\right)+Bu\left(t\right)\\y\left(t\right)&=Cz\left(t\right)+Du\left(t\right)\end{aligned} \]
对上式进行拉普拉斯变换
\[\mathcal{L}\left[\frac{\mathrm{d}z\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\right]=\mathcal{L}[Az\left(t\right)+Bu\left(t\right)]\\\mathcal{L}[\mathbf{y}\left(t\right)]=\mathcal{L}[\mathbf{Cz}\left(t\right)+\mathbf{Du}\left(t\right)] \]考虑零初始状态，z_1(0)=z_2(0)=0
\[s\mathbf{Z}(s)=\mathbf{AZ}(s)+\mathbf{BU}(s)\\\mathbf{Y}(s)=\mathbf{CZ}(s)+\mathbf{DU}(s) \]其中，$ Z(s)=\mathcal{L}[z(t)],Y(s)=\mathcal{L}[y(t)],U(s)=\mathcal{L}[u(t)]$
\[\mathbf{Z}(s)=(s\mathbf{I}-\mathbf{A})^{-1}\mathbf{B}\mathbf{U}(s) \]\((sI-A)^{-1}\) 是$ sI-A的逆矩阵; $I $ 是 $ $n\times n $ 是单位矩阵，\(I_{n\times n}=\begin{bmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&1\end{bmatrix}\)
代入整理
\[\mathbf{Y}(s)=(\mathbf{C}(s\mathbf{I}-A)^{-1}\mathbf{B}+\mathbf{D})\mathbf{U}(s) \]系统的转递函数
\[G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=C(sI-A)^{-1}B+D \]考虑弹簧质量阻尼系统，其中 \(D=0\),根据矩阵求逆公式(s\(I-A)^{-1}=\frac{(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^*}{|s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}|}\), 代人式可得
其中，\((s\mathbf{I}-\mathbf{A})^*\) 是 \((s\mathbf{I}-\mathbf{A})\)的伴随矩阵, \(|s\mathbf{I}-\mathbf{A}|\) 是\((s\mathbf{I}-\mathbf{A})\)
如果令\(G(s)\)的分母部分为零，即\(|s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}|=0\),得出的 s值有两个含义：
第一，从传递函数的角度考虑，它是传递函数的极点；
第二，从状态矩阵的角度考虑它是矩阵\(A\)的特征值(令\(|sI-A|=0\)是求矩阵\(A\)特征值的公式。
通过分析传递函数极点可以判断系统的表现。而当把系统写成状态空间方程之后，状态矩阵 \(A\) 的特征值即为其相对应的传递函数\(G(s)\)的极点。
因此，通过分析矩阵 A 的特征值也可以判断系统的表现。
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