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一、函数的连续性
增量的概念
设变量 \(u\) 从它的一个 初值 \(u_1\) 变到终值 \(u_2\) ，终值与初值的差 \(u_2 - u_1\) 就叫做变量 \(u\) 的增量，记作 \(\Delta u\) ，即
\[\Delta u = u_2 - u_1 \]增量 \(\Delta u\) 可以是正的，也可以是负的。在 \(\Delta u\) 为正的情形，变量 \(u\) 从 \(u_1\) 变到 \(u_2 = u_1 + \Delta u\) 时是增大的；当 \(\Delta u\) 为负时，变量 \(u\) 是减小的。
注意：记号 \(\Delta u\) 并不表示某个量 \(\Delta\) 与变量 \(u\) 的乘积，而是一个整体不可分割的记号。
函数连续的定义
定义 设函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某一邻域内有定义，如果
\[\lim \limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim \limits_{\Delta x \to 0} [f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)] = 0 , \]那么就称函数 \(y = f(x)\) 在点\(x_0\) 连续。
函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 连续的定义又可叙述如下：
设函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某一邻域内有定义，如果
\[\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \]那么就称函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 连续。
用“ \(\varepsilon - \delta\) ”语言表达如下：
\[f(x) 在点 x_0 连续 \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 , \exists \delta > 0 , 当 | x - x_0 | < \delta 时,有 | f(x) - f(x_0) | < \varepsilon . \]左连续与右连续的概念
如果 \(\lim \limits_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0^-)\) 存在且等于 \(f(x_0)\) ，即
\[f(x_0^-) = f(x_0) \]那么就说函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 左连续。
如果 \(\lim \limits_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0^+)\) 存在且等于 \(f(x_0)\) ，即
\[f(x_0^+) = f(x_0) \]那么就说函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 右连续。
函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 连续的充分必要条件是函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 即是左连续又是右连续。
在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续。
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。
例 证明函数\(y = \sin x\) 在区间 \((- \infty, \infty)\) 内是连续的。
证：设 \(x\) 是区间 \((- \infty, \infty)\) 内任意取定的一点。当 \(x\) 有增量 \(\Delta x\) 时，对应的函数的增量为
由三角公式有
\[\sin{(x + \Delta x)} - \sin x = 2 \sin{\cfrac{\Delta x}{2}} \cos{\left( x + \cfrac{\Delta x}{2} \right)} \]所以
\[\begin{align*} \lim_{\Delta x \to 0} \Delta y &= \lim_{\Delta x \to 0} 2 \sin{\cfrac{\Delta x}{2}} \cos{ \left(x + \cfrac{\Delta x}{2} \right)} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \cfrac{\sin{\cfrac{\Delta x}{2}}}{\cfrac{\Delta x}{2}} \cdot \Delta x \cdot \cos{ \left(x + \cfrac{\Delta x}{2} \right)} \\ &= 0 \end{align*} \]就推得 \(y = \sin x\) 在区间 \((- \infty, \infty)\) 内是连续的。
二、函数的间断点
三种情形
设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数 \(f(x)\) 有下列三种情形之一：
- 在 \(x = x_0\) 没有定义；
- 虽在 \(x = x_0\) 有定义，但 \(\lim \limits_{x \to x_0} f(x)\) 不存在；
- 虽在 \(x = x_0\) 有定义，且 \(\lim \limits_{x \to x_0} f(x)\) 存在，但 \(\lim \limits_{x to x_0} f(x) \neq f(x_0)\) ，
那么函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 为不连续，而点\(x_0\) 称为函数 \(f(x)\) 的不连续点或间断点。
间断点举例
例1 正切函数 \(y = \tan x\) 在 \(x = \cfrac{\pi}{2}\) 处没有定义，所以点 \(x = \cfrac{\pi}{2}\) 是函数 \(\tan x\) 的间断点。因
\[\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \tan x = \infty \]我们称 \(x = \cfrac{\pi}{2}\) 是函数 \(\tan x\) 的无穷间断点。
例2 函数 \(y = \sin{\cfrac{1}{x}}\) 在点 \(x = 0\) 没有定义；当 \(x \to 0\) 时，函数值在 \(-1\) 与 \(1\) 之间变动无限多次，所以点 \(x = 0\) 称为函数 \(\sin{\cfrac{1}{x}}\) 的振荡间断点。
例3 函数 \(y = \cfrac{x^2 - 1}{x - 1}\) 在点 \(x = 1\) 没有定义，所以函数在点 \(x = 1\) 不连续。但这里
\[\lim_{x \to 1} \cfrac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 . \]如果补充定义：令 \(x = 1\) 时 \(y = 2\) ，那么所给函数在点 \(x = 1\) 成为连续。所以 \(x = 1\) 称为该函数的可去间断点。
例4 函数
\[y = f(x) = \begin{cases} x, \quad x \neq 1, \\ \cfrac{1}{2}, \quad x = 1 . \end{cases} \]这里 \(\lim \limits_{x \to 1} f(x) = \lim \limits_{x \to 1} x = 1\) ，但 \(f(1) = \cfrac{1}{2}\) ，所以
\[\lim_{x \to 1} f(x) \neq f(1) \]因此，点 \(x = 1\) 是函数 \(f(x)\) 的间断点。但如果改变函数 \(f(x)\) 在 \(x = 1\) 处的定义；令 \(f(1) = 1\) ，那么 \(f(x)\) 在 \(x = 1\) 成为连续。所以 \(x = 1\) 也称为该函数的可去间断点。
例5 函数
\[y = f(x) = \begin{cases} x - 1, \quad &x < 0 , \\ 0, \quad &x = 0 , \\ x + 1, \quad &x > 0 . \end{cases} \]这里，当 \(x \to 0\) 时，
\[\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x - 1 = -1, \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x + 1 = 1 . \]左极限与右极限虽然存在，但不相等，故极限 \(\lim \limits_{x \to 0} f(x)\) 不存在，所以点 \(x = 0\) 是函数 \(f(x)\) 的间断点。因 \(y = f(x)\) 的图形在 \(x = 0\) 处产生跳跃现象，我们称 \(x = 0\) 为函数 \(f(x)\) 的跳跃间断点。
通常把间断点分成两类：如果 \(x_0\) 是函数 \(f(x)\) 的间断点，但左极限 \(f(x_0^-)\) 及右极限 \(f(x_0^+)\) 都存在，那么 \(x_0\) 称为函数 \(f(x)\) 的第一类间断点。不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点。在第一类间断点中，左、右极限相等的称为可去间断点，不相等的称为跳跃间断点。无穷间断点和振荡间断点为第二类间断点。
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