标签：化简 frac 公式 sum 平方和 2n 2i 式子
\(\sum _{i=1}^{n} i^2 = \frac {n*(n+1)*(2n+1)} {6}\)
证明
\(1^2=1\)
\(2^2=1+3\)
\(3^2=1+3+5\)
……
\(n^2=1+3+5+……+(2n-1)\)
据此可以得出：
\(\sum _{i=1}^{n}i^2=1*n+3*(n-1)+5*(n-2)+……+(2n-1)*1\)
化简：
\(\sum _{i=1}^{n}i^2=\sum _{i=1}^{n}(2i-1)*n - \sum_{i=1}^{n}(i-1)*(2i-1)\)
\(\sum _{i=1}^{n}i^2=n*\sum_{i=1}^{n}(2i-1)-\sum_{i=1}^{n}(i-1)*(2(i-1)+1)\)
\(\sum _{i=1}^{n}i^2=n*\sum_{i=1}^{n}(2i-1)-\sum_{i=1}^{n}2*(i-1)^{2}+(i-1)\)
\(\sum _{i=1}^{n}i^2=n*\sum_{i=1}^{n}(2i-1)-2*\sum_{i=1}^{n}(i-1)^{2}+\sum_{i=1}^{n}(i-1)\)
根据数列的性质，我们可以在化简一步：
\(\sum _{i=1}^{n}i^2=n* \frac{(2n-1+1)*n}{2}+ \frac{(n-1+0)*n}{2}-2*\sum_{i=1}^{n}(i-1)^{2}\)
\(\sum _{i=1}^{n}i^2=n^3+ \frac{n(n-1)}{2}-2*\sum_{i=1}^{n}(i-1)^{2}\)
到这里就很难再进行化简了,那我们引入一个显而易见的结论
\(\sum_{i=1}^{n}i^2-\sum_{i=1}^{n}(i-1)^2=n^2\)
变换一下这个式子
\(2*\sum_{i=1}^{n}i^2=2*\sum_{i=1}^{n}(i-1)^2+2n^2\)
用这个式子加上上面的式子
\(3*\sum_{i=1}^{n}i^2=n^3+2n^2+\frac{n(n-1)}{2}\)
最后，终于得到了我们要证的式子了
\(\sum _{i=1}^{n} i^2 = \frac {n*(n+1)*(2n+1)} {6}\)
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