Matrix Determinant Lemma

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设 \(\mathbf U\) 是 \(n\times m\) 阶矩阵，\(\mathbf V\) 是 \(m\times n\) 阶矩阵，\(\mathbf I_x\) 是 \(x\) 阶单位矩阵。

那么矩阵行列式引理的一个核心等式是： \(|\mathbf I_n+\mathbf U\mathbf V|=|\mathbf I_m+\mathbf V\mathbf U|\)。

证明考虑分块矩阵乘法，有等式：

\[\begin{pmatrix} \mathbf I_n & \\ \mathbf V & \mathbf I_m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf I_n+\mathbf U\mathbf V & \mathbf U \\ & \mathbf I_m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf I_n & \\ -\mathbf V & \mathbf I_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf I_n+\mathbf U\mathbf V & \mathbf U \\ \mathbf V(\mathbf I_n+\mathbf U\mathbf V) & \mathbf I_m+ \mathbf U\mathbf V \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf I_n & \\ -\mathbf V & \mathbf I_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf I_n & \mathbf U \\ & \mathbf I_m+\mathbf V\mathbf U \end{pmatrix} \]

这些矩阵都是分块三角矩阵，所以左边第一、三个矩阵行列式都是 \(1\)，两边取行列式就得到了 \(|\mathbf I_n+\mathbf U\mathbf V|=|\mathbf I_m+\mathbf V\mathbf U|\)。

考虑拓展这个等式，对于可逆 \(n\) 阶方阵 \(\mathbf A\) 来说：

\[|\mathbf A+\mathbf U\mathbf V|=|\mathbf A||\mathbf I_n+(\mathbf A^{-1}\mathbf U) \mathbf V|=|\mathbf A||\mathbf I_m + \mathbf V (\mathbf A^{-1}\mathbf U)|=|\mathbf A||\mathbf I_m + \mathbf V \mathbf A^{-1}\mathbf U| \]

进一步地，对于可逆 \(m\) 阶方阵 \(\mathbf B\) 来说：

\[|\mathbf A+\mathbf U\mathbf B\mathbf V|=|\mathbf A+\mathbf U(\mathbf B\mathbf V)|=|\mathbf A||\mathbf I_m + (\mathbf B\mathbf V) \mathbf A^{-1}\mathbf U|=|\mathbf A||\mathbf B||\mathbf B^{-1} + \mathbf V \mathbf A^{-1}\mathbf U| \]

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