博弈论学习笔记
一.公平组合游戏（Impartial Game）
公平组合游戏满足以下性质：
- 决策公平（双方操作的集合是一样的）
- 无隐藏信息（双方均知道游戏的所有信息）
- 无随机部分
- 无平局
有固定的结论是，若双方都绝顶聪明，对于固定的状态 \(G\)，能判断其是必胜还是必败态。
二.巴什博弈（Bush Game）
只有一堆 \(n\) 个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规定每次至少取一个,最多取 \(m\) 个.最后取光者得胜.
这里首先定义必胜态：先手必胜的状态。必败态：先手必败的状态。显然，若一个状态能到达的状态都是必胜态，那么它是必败态，若一个点到达的状态中有至少一个必败态，那么它是一个必胜态。
对于巴什博弈，显然剩余 \(1\) 到 \(m\) 个的状态均为必胜态，\(m+1\) 个为必败态，考虑对于 \(m+2\) 个到 \(2m+1\) 个，都可以通过一次操作转移为 \(m+1\) 个，所以它们均为必胜态，以此类推，可知 \(n\) 个式子，若 \(n \bmod (m+1) = 0\) 则为必败态，否则为必胜态。
三.尼姆游戏（Nim Game）
有 \(n\) 堆石子（每堆石子数量小于 \(10^4\)），每人每次可从任意一堆石子里取出任意多枚石子扔掉，可以取完，不能不取。每次只能从一堆里取。最后没石子可取的人就输了。
结论：所有堆石子的异或和为 \(0\) 则先手必败，否则先手必胜。
数学归纳可证。
四.\(\text{SG}\) 函数
博弈图
对于一个游戏，将每个状态设为一个点，每个点向它所有的后继状态连边，这样形成的图叫做博弈图，如下图是 \(\text{Nim}\) 游戏一堆石子的博弈图：
定义一个点的 \(\text{SG}\) 函数是它所有后继的 \(\text{Mex}\) 值，显然必败态的 \(\text{SG}=0\)。一个状态为必胜态当且仅当其 \(\text{SG} \neq 0\)，且后继中至少存在一个点 \(\text{SG}=0\)。一个状态为必败态当且仅当 \(\text{SG}=0\)，且后继中不存在一个点 \(\text{SG}=0\)
SG 定理
对于若干个子游戏 \(X_1,X_2,...,X_n\) 组成的局面 \(X\)，其
\[SG(X)=SG(X_1) \oplus SG(X_2) \oplus ... \oplus SG(X_n) \]当 \(SG(X) \neq 0\) 时，先手必胜，否则先手必败。
证明：
令 \(SG(X')\) 表示一次操作后的状态。
当 \(SG(X)=0\) 时，任何操作一定使得 \(SG(X') \neq 0\) ，符合必败态的所有后继一定为必胜态。
当 \(SG(X) \neq 0\) 时，可以操作二进制最长的数使得 \(SG(X')=0\)，符合必胜态一定存在必败态后继。
得证。
显然对于 \(\text{Nim}\) 游戏，\(SG(x)=x\)，所以状态的 \(\text{SG}\) 为石子个数的异或和。
SG 定理适用于任何公平的两人游戏。
Anti-SG（SJ 定理）
定义最后一个不能操作的人输，其他条件与 \(\text{SG}\) 游戏相同。
则先手必胜当且仅当
- 游戏值不为 \(0\) 且游戏中某个单一游戏的函数大于 \(1\)。
- 游戏函数为 \(0\) 且游戏中没有单一游戏的函数大于 \(1\)。
证明同 \(\text{SG}\)。只是分类讨论比较复杂。
Multi-SG
\(\text{Multi-SG}\) 游戏规定，在符合拓扑原则的前提下，一个单一游戏的后继可以为多个单一游戏。
根据 \(SG\) 定理可知这多个单一游戏的 \(SG\) 为它们的异或和，将它们的异或和也作为一个后继的 $SG $ 值计算 \(\text{Mex}\) 即可。
特别地，对于 \(\text{Multi-Nim}\)，存在以下结论：
\(SG(x)=\begin{cases}x-1& x \bmod 4=0\\x& x \bmod 4 = 1 \lor 2\\x+1& x \bmod 4 =3\end{cases}\)
Every-SG
给定一张无向图，上面有一些棋子，两个顶尖聪明的人在做游戏，每人每次必须将可以移动的棋子进行移动，不能移动的人输
在 \(SG\) 游戏的基础上，规定对于还没有结束的单一游戏，游戏者必须对该游戏进行一步决策。
显然有贪心：对于一个单一游戏，必胜者一定想尽量拖延时间，必败者会尽力速战速决。
所以可以多处理一个 \(step(X)\)，若 \(SG(X)=0\)，\(step(X)\) 为先手最快结束的步数，否则为先手最慢结束的步数，显然对于所有单一游戏的 \(step\) 取 \(\max\)，若 \(\max\) 为奇数则先手必胜，否则先手必败。
\(step\) 可以很简单的 \(\text{DP}\) 求出。
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