标签：1987 SVD 分解 奇异 org theta 机器人学 dot

本文内容主要翻译自Maciejewski, A.A. and Klein, C.A. (1989) ‘The Singular Value Decomposition: Computation and Applications to Robotics’, _The International Journal of Robotics Research_一文中的部分章节

奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）在机器人学中被广泛用于分析机器人机械手的运动学和动力学特性。然而，由于计算成本较高，它并未被用于实时应用。(由于早期计算机性能的问题，SVD 的计算对于当时的计算机硬件而言还是比较大的负担，所以原文献中有大量篇幅来解释如何通过局部摄动的关系来快速求解计算 SVD。当然现在这个问题已经不是现在的读者所面临的问题，所以本文不再考虑这部分内容。）本研究展示了一种奇异值分解的公式化方法，该方法利用机器人矩阵计算的特性，以获得一个在计算上可行的算法。文中讨论了包括冗余机械手控制和灵活性优化在内的几个应用。还详细介绍了使用奇异值分解来处理一般奇异性问题的详细说明。

引言

近年来，奇异值分解（SVD）已成为分析机器人机械手运动学和动力学特性的流行工具（Yoshikawa 1985a^[1]; Yoshikawa 1985b ^[2]）。它在冗余机械手方面尤其发挥了重要作用，无论是在分析额外自由度的重要性（Klein 和 Huang 1983）^[3]，还是在指定可以使用这些冗余自由度进行优化的辅助标准方面。在许多情况下，这些辅助标准是灵巧性的定性概念的一些定量度量。大多数提出的灵巧性度量是雅可比矩阵奇异值的某种函数。其中最常见的可能是由 Yoshikawa（1984）^[4]提出的可操作性度量，它定义为矩阵 \(JJ^T\) 的行列式平方根，这仅仅是雅可比矩阵 \(J\) 的奇异值的乘积。其他提出的度量包括上述矩阵的迹（Baillieul 1987）^[5]、雅可比矩阵的最小奇异值（Klein 和 Blaho 1987）^[6]、兼容性指数（Chiu 1987）^[7]以及各向同性（Salisbury 和 Craig 1982）^[8]。

尽管上述所有度量都具有物理意义并有其使用的合理性，但关键点在于它们都与奇异值分解（SVD）紧密相关。然而，尽管事实如此，完整的分解通常仅限于机械手配置的分析，并不被认为是在线控制实施的考虑对象。这可以通过可操作性度量的普及来证明，因为它的主要理由是计算数值简单，并且它的零点与雅可比矩阵的奇异性相一致。这意味着人们确实希望获得有关奇异性的信息；然而，这将需要计算 SVD，而 SVD 因计算成本高而闻名。不幸的是，行列式没有提供关于奇异性绝对接近程度的信息，因为最小奇异值是这一数量的唯一可靠度量。此外，矩阵乘积 \(JJ^T\) 的计算将条件数平方，这降低了结果的准确性。

这项工作关注的是证明，只要有正确的公式化，奇异值分解（SVD）在实时控制中是计算上可行的。传统上，任意矩阵的SVD计算是一个迭代过程，因此无法事先知道确切的计算次数。然而，机器人系统的控制不是基于任意矩阵方程的求解，而是非常频繁地涉及基于雅可比矩阵的方程的求解。系统的当前雅可比矩阵可以被视为一个先前已知矩阵的摄动，对于该摄动，可以建立奇异值和奇异向量的摄动界限。本文将展示如何在当前SVD计算中利用对先前状态的了解，以减轻整体计算负担。本文将强调上述要点，它展示了一种计算方案，能够计算雅可比矩阵的SVD，用于机械手的实时控制。然后讨论了这样一个算法对几个应用的影响，包括利用冗余度和优化机械手的灵活性。通过计算机模拟PUMA机器人，使用速率和加速度控制，详细检查了使用SVD处理机械手奇异性的优势。

应用（原文献第四章节）

实时计算雅可比矩阵的奇异值分解（SVD）有多种可能的不同应用。如上所述，几种提出的灵巧性度量与雅可比矩阵的奇异值和奇异向量密切相关。因此，可以比较当前机械手配置的运动学和静态力能力与指定任务的要求。机械手本身可以通过确定更合适的配置来解决机械手的物理能力与指定任务之间的不一致性。这导致更加自主的行为，可以用于自动化运动规划和工作单元设计，以及在非结构化环境中操作机器人机械手。

实时计算 SVD 还能够增强机器人系统中冗余度的利用。在解决运动速率控制公式（Whitney 1969）^[9]方面，

\[J\dot{\theta}=\dot{\mathbf{x}} \tag{1}\label{1} \]

在系统内使用冗余自由度最常见的技术之一是使用 Liegeois（1977年）^[10]提出的投影算子公式

\[\dot{\theta}=J^{+}\dot{x}+(I-J^{+}J)z \tag{2}\label{eq2} \]

其中，\(J^{+}\) 是雅可比矩阵 \(J\) 的伪逆，而 \(z\) 是六维空间中的任意向量。这种公式已被用来在特定的末端执行器轨迹的约束下优化次要目标，这些约束包括关节角度可用性、扭矩最小化（Hollerbach 和 Suh，1987年）^[11]，以及障碍物避让（Maciejewski 和 Klein，1985年^[12]；Nakamura、Hanafusa 和 Yoshikawa，1987年^[13]）。有了完整的 SVD，投影操作变得简单，因为奇异向量 \(v_i\) 对于 \(r>i\geq n\) 指定了零空间的一组正交基。因此，使用齐次解来替代次要目标的相对优势变得容易评估。

这项工作的其余部分将考虑将实时 SVD 算法应用于奇异配置的基本问题。除了笛卡尔定位机器人外，所有铰接式机械手都可以展示出限制有效独立自由度数的奇异配置（Baker 和 Wampler 1987）^[14]。大量的努力（Asada 和 Cro Granito 1985年^[15]；Aboaf 和 Paul 1987年^[16]；Dubey 和 Luh 1987年^[17]；Mayorga 和 Wong 1987年^[18]；Sampei 和 Furuta 1987年^[19]）已经被投入到避免或处理奇异性操作中，因为奇异性可能导致高关节速度和虚假运动。

阻尼最小二乘

奇异性的影响通常针对方程 \(\eqref{1}\) 中给出的解决运动速率控制公式来呈现。通过雅可比矩阵 \(J\) 的秩的数学变化来识别奇异性，这在物理上表示机械手无法实现任意的末端执行器速度。对于这些情况，逆矩阵未定义，即使是像方程 \(\eqref{eq2}\) 这样的伪逆解也是不令人满意的，因为在奇异点存在不期望的不连续性，可能导致振荡和不可接受的高关节速度。这些困难不是解决运动速率公式所独有的，而是笛卡尔空间和关节空间之间转换固有的一部分。

一种解决奇异配置中不连续性问题并保持良好条件公式的方法，该公式产生的关节速度在物理上是有意义的，是使用 Nakamura 和 Hanafusa（1986年）^[20]以及 Wampler（1986年）^[21]独立提出的阻尼最小二乘公式。方程 \(\eqref{1}\) 的阻尼最小二乘解是最小化和 \(\|\dot{\mathbf{x}}-J\dot{\boldsymbol{\theta}}\|+\lambda\|\dot{\boldsymbol{\theta}}\|\) 的解，这样末端执行器的跟踪误差就通过使用阻尼因子 \(\lambda\) 来权衡关节速度的范数。这种解通常通过求解形式如下的方程得到：

\[(J^TJ+\lambda^2I)\dot{\theta}=J^T\dot{\mathbf{x}} \tag{3} \label{eq3} \]

这种解确保在所有具有相等或更小范数的解中是残差最小的解。不幸的是，对于给定的阻尼因子，无法预先确定解的范数。
这个要解决的问题实际是最小化残差 \(\|\dot{\mathbf{x}}-J\dot{\boldsymbol{\theta}}\|\)，这定义了在末端执行器跟踪精度约束 \(\|\dot{\theta}\|\leqslant\dot{\theta}_{max}\) 下，其中 \(\dot{\theta}_{max}\) 是机械手关节速度的物理限制。因此，可以通过使用阻尼最小二乘解和适当的阻尼因子值 \(\lambda\) 来获得所需的解。直观地说，如果使得残差等于零的 \(\|\dot{\theta}\|\) 值小于 \(\dot{\theta}_{max}\) ，则 \(\lambda=0\)；否则， \(\lambda\) 将取值，使得\(\|\dot{\theta}\|=\dot{\theta}_{max}\)。从物理意义上讲，如果能够物理实现恰好跟踪所需末端执行器轨迹的关节速度，则应使用它；否则，最优解要求关节速度范数达到其极限。
为了明确表示方程 \(\eqref{1}\) 的阻尼最小二乘解对阻尼因子的依赖，将用 \(\dot{\theta}(\lambda)\) 表示，其解由下式给出:

\[\dot{\theta}^{(\lambda)}=\sum_{i=1}^{r}\frac{\sigma_{i}}{\sigma_{i}^{2}+\lambda^{2}} \mathbf{v_{i}u_{i}^{T}\dot{x}} \tag{4}\label{eq4} \]

其中，

\[J= \sum_{i=1}^{n} \sigma_{i} \mathbf{u_{i} v_i^T} \tag{5}\label{eq5} \]

是雅各比矩阵的 SVD 分解形式。因此，它的解可以表示为

\[\|\dot{\theta}^{(\lambda)}\|^2=\sum_{i=1}^r\left[\frac{\dot{x}_i\sigma_i}{\sigma_i^2+\lambda^2}\right]^2 \tag{6}\label{eq6} \]

其中，

\[\dot{x}_{i}=\mathbf{u}_{i}^{\mathbf{T}}\dot{\mathbf{x}} \tag{7}\label{eq7} \]

方程 \(\eqref{eq6}\) 是关于 \(\lambda\) 的非线性方程，必须解决它才能在 \(\|\dot{\theta}^{(\lambda)}\|=\dot{\theta}_{max}\) 时找到最优解。解决此问题的有效技术是使用牛顿法，这需要求方程 \(\eqref{eq6}\) 关于阻尼因子的导数，如 Lawson 和 Hanson (1974) ^[22]中所讨论的。

上述技术已在 PUMA 机器人的模拟中实现。如前所述，这些轨迹被选择穿过奇异配置，以展示阻尼最小二乘解的性质。

仿真的结果，包括末端执行器速度跟踪误差和关节角速度范数，分别在图中为三条轨迹绘制出来。所有三条轨迹的最大关节速度范数 \(\dot{\theta}_{max}\) 被设置为每计算间隔0.009弧度。除了雅可比矩阵接近奇异且期望的末端执行器速度在丢失自由度方向上有分量的点之外，轨迹上所有点的末端执行器跟踪误差均为零。在这些点，可以观察到关节速度的特征性跳跃，但被有效限制在最大允许值。这有效防止了使用其他逆运动学方法通过奇异姿态时典型的违反常理的运动。因此，即使在接近奇异姿态的情况下，这些解在物理上也是有意义的，实际上，它们导致了最小的末端执行器跟踪误差。如果指定的末端执行器速度没有与最小奇异值关联的奇异向量方向上的分量（注意图中的凹口），这个误差实际上可以是零。实际上，这就是拥有完整的 SVD 的优势，而仅有奇异性信息的话就不具备这样的优势。应当注意的是，由于运动经过了奇异姿态，机械手可能切换逆运动学解的分支（例如，从肘部向上切换到肘部向下的姿态）。

截断 SVD 解的连续形式

使用阻尼最小二乘法提供了在关节运动的物理约束下跟踪给定末端执行器轨迹的最优解。虽然这个解是最优的，但由于计算适当阻尼因子 \(\lambda\) 的迭代性质，可能不适合实际应用。可以证明，阻尼最小二乘解的特性与使用截断 SVD 解得到的特性非常相似。由 \(\eqref{1}\) 所描述的线性系统方程的截断 SVD 的解用 \(\dot{\theta}^{(k)}\) 表示的话，定义为

\[\dot{\theta}^{(k)}=\sum_{i=1}^k\frac{\dot{x}_i}{\sigma_i}\mathbf{v_i} \tag{8}\label{eq8} \]

其中，\(k\) 是一个小于或等于秩 \(r\) 的整数。截断 SVD 通过移除所有对应于小奇异值的解分量，同时保留所有与较大奇异值相关的分量，从而减少了解的范数。参数 \(k\) 用来衡量小和大，使得 \(\sigma_i\) 对于 \(i \leq k\) 是大的，而 \(\sigma_i\) 对于 \(i > k\) 被认为是小的。可以证明 \(\dot{\theta}^{(k)}\) 是由剩下的 \(v_i\) 张成的 \(k\) 维子空间（\(i\leq k\) ）中的最小残差解 (Marquardt 1970)^[23]。对于 \(\sigma_k\gg\sigma_{k+1}\)，并且阻尼因子 \(\lambda\) 位于两个明显分隔的奇异值 \(\sigma_k\) 和 \(\sigma_{k+1}\) 之间的情况，这两种类型的解的结果将大致接近。通过将截断 SVD 修改为连续函数而不是 \(k\) 的阶跃函数，可以获得几乎与阻尼最小二乘解相同的解。这种连续形式的解用 \(\dot{\theta}^{(c)}\) 表示，其定义为

\[\dot{\theta}^{(c)}=\sum_{i=1}^k\frac{\dot{x}_i}{\sigma_i}\mathbf{v_i}+\frac{(c-k)\dot{x}_{k+1}}{\sigma_{k+1}}\mathbf{v_{k+1}} \tag{9}\label{eq9} \]

在这里， \(c\) 是一个小于或等于秩的实数，而 \(k\) 是小于等于 \(c\) 的最大整数。
因为奇异向量都是单位正交向量，所以这种解的范数可以直接写成

\[\|\dot{\theta}^{(c)}\|^2=\sum_{i=1}^k\left(\frac{\dot{x}_i}{\sigma_i}\right)^2+\left(\frac{(c-k)\dot{x}_{k+1}}{\sigma_{k+1}}\right)^2 \tag{10}\label{eq10} \]

使用这种形式的解的优势在于，当 SVD 可用时，它非常容易计算。从方程 \(\eqref{eq8}\) 得到的截断奇异值解的范数 \(\|\dot{\theta}^{(i)}\|\) ，随着 \(i\) 的递增被计算，直到 \(i\) 等于秩或者范数大于 \(\dot{\theta}_{max}\) 。后一种情况恰好是我们的目标，因为它代表了达到关节速度的物理限制。在这种情况下，现在知道了 \(k\) ，即 \(i-1\) ，并且可以很容易地从 \(\eqref{eq10}\) 得到所需的量 \((c - k)\) ，使得 \(\|\dot{\theta}^{(c)}\|\) 等于0。然后使用这个值来获得由 \(\eqref{eq9}\) 定义的连续截断奇异值解。这种算法的实现被用来模拟控制 PUMA 机器人。在所有三种情况下，得到的关节轨迹与使用阻尼最小二乘解得到的结果相差不到1%。Maciejewski (1987)中给出了关于连续截断 SVD 解和阻尼最小二乘解这两者之间差异的详细误差分析。

加速度分解控制

上述部分讨论了如何在奇异性存在的情况下通过移除与小奇异值相关的分量来处理关节角速度的硬约束。然而，在许多实际案例中，关节加速度将是限制因素。相同的技术同样适用，因为加速度分解控制（Luh, Walker, 和 Paul 1980）^[24]仍然需要基于某种雅可比逆的解。通过对 \(\eqref{eq1}\) 方程进行微分，我们可以直接发现

\[J\ddot{\theta}+\dot{J}\dot{\theta}=\tilde{\mathbf{x}} \tag{11}\label{eq11} \]

因此，对于机械手的给定状态，可以计算出实现所需末端执行器加速度所需的关节加速度。但是在奇异性存在的情况下，这些关节加速度可能变得无限大，所以这里我们又要强调一个可用的解必须满足由 \(\|\ddot{\theta}\|\leq \ddot{\boldsymbol{\theta}}_{max}\) 所定义物理可行的加速度约束的前提下最小化加速度误差 \(\|\tilde{\mathbf{x}}-(J\ddot{\boldsymbol{\theta}}+\dot{\boldsymbol{J}}\dot{\boldsymbol{\theta}})\|\)。作为一个例子，考虑使用速度控制来跟踪图中给出的轨迹 B。该图还给出了为保持期望速度所需的关节加速度的图示。关节加速度范数采用典型的计算方式，在奇异点处有一个非常大的尖峰，两侧有两个较小的峰值。需要注意的是，如果仅仅考虑对关节速度的范数进行微分，这种现象并不显著，但在考虑通过奇异点的影响后就变得显著了。特别是，第一个加速度峰值是由于关节加速以匹配由于与小奇异值相关联的方向上的分量所需的大速度。然后加速度变为零，因为速度的硬约束限制了这个奇异分量的影响。然而，当机械手通过奇异性时，沿着小奇异值的分量改变符号，以至于那些需要匹配它的关节必须减速到零，然后以相反的方向加速，因此在加速度曲线上产生了大尖峰。在这一点上，速度曲线上没有尖峰，因为速度约束仍然有效，但现在它是在限制另一个方向的速度。加速度的最后一个峰值是离开奇异区域的结果，因此关节减速，因为在奇异区域之外不需要大的速度。
为了在关节加速度的硬约束存在的情况下获得最优解，连续截断 SVD 技术被应用于方程 \(\eqref{eq11}\) 的解。下图展示了由此产生的关节速度和加速度以及末端执行器的跟踪误差。正如预期的那样，末端执行器的加速度跟踪误差在奇异点附近除外，均为零，因为在奇异点附近遇到了加速度的硬约束。这种对加速度的恒定限制导致关节速度曲线呈现三角形状，它们在加速和减速之间交替变化。施加这样的加速度约束有效地扩大了感受到奇异性影响的区域。这导致在两个奇异姿态周围的轨迹的较大部分中，末端执行器速度跟踪误差非零。这个跟踪误差，然而，是考虑到机械手加速度的物理限制下可实现的最小误差。

结论

可用的计算雅可比矩阵 SVD 的高效算法，带来了许多潜在的应用，包括实时评估灵巧性和利用冗余自由度。这项工作展示了 SVD 在处理奇异性这一基本问题上的应用。当 SVD 可用时，阻尼最小二乘公式的最优解可以被轻松且高效地获得。此外，已经展示了如何使用截断 SVD 解的连续形式来代替阻尼最小二乘解。在速度或加速度级别使用这种公式允许在不违反物理约束或产生违反常理的运动的情况下通过奇异姿态进行操作。

More Reading

Reference

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