或许看起来和物理很有关系？

变化率

平均速度

定义

物体的位移与所用时间的比值，通常指物体在某一时间段内的速度，若物体的位移与所用时间的关系式是 \(s=f(t)\)，函数 \(f(t)\) 在 \(t_0\) 与 \(t_0+\Delta t\) 之间的平均速度是 \(\frac{f(t_0+\Delta t)-f(t_0)}{\Delta t}\)。

瞬时速度

定义

物体在某一时刻的速度，观察上式发现当 \(\Delta t\) 无限趋近于 \(0\) 的时候，\(\frac{f(t_0+\Delta t)-f(t_0)}{\Delta t}\) 无限趋近于常数，将这个常数叫做物体在 \(t_0\) 时刻的瞬时速度，即 \(\displaystyle\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\displaystyle\lim_{\Delta t\to 0}\frac{f(t_0+\Delta t)-f(t_0)}{\Delta t}\)。

曲线的割线与切线

正好在这里我们理解一下为什么会无限趋近于常数。
偷个懒我就直接画一个圆了（广告：Geogebra 牛逼）。先放图：

设点 \(C(x_0,f(x_0))\)，分别连接点 \(B,D,E\) 和点 \(C\)，我们可以得到圆的三条割线，不难发现，当这个点无限趋近于点 \(C\) 时（显示在坐标轴上也就是 \(\Delta x\) 无限趋近于 \(0\)），割线的斜率也就无限趋近于过点 \(C\) 的圆 \(A\) 的切线的斜率。
注意到一旦圆 \(A\) 和点 \(C\) 都确定了，切线的斜率也相应的确定下来，是一个常数，这就解释了“为什么会无限趋近于常数”。
官方一点：当点 \(P\) 沿着曲线无限接近点 \(C\) 时，割线 \(CP\) 无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置 \(P_t\) 称为该曲线在点 \(C\) 处的切线。

割线斜率与切线的斜率

割线 \(PP_n\) 的斜率是 \(k_n=\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}\)，当点 \(P_n\) 沿着曲线无限接近点 \(P\) 时，\(k_n\) 无限接近于切线 \(PT\) 的斜率 \(k\)，即 \(k=\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\frac {f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}(\Delta x=x_n-x_0)\)。