证明：讨论 $n,m$ 正负性，归纳即可。$\forall a,b\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N},\left(a+b\right)^n=\sum\limits_{i=0}^n\binom{n}{i}a^ib^{n-i}$
证明：归纳即可。$\forall 0\lt a\lt b,n\in\mathbb{N}^{\star},a^n\lt b^n,a^{-n}\gt b^{-n}$
证明：归纳即可。$\forall x\gt -1,\left(1+x\right)^n\ge 1+nx$，当且仅当 $x=0$ 时取等。
证明：归纳即可。$\forall b\gt 1,n\in\mathbb{N}^{\star},\exist a\gt 1,\mathrm{s.t.} a^n\lt b$
证明：取 $a=1+\min\left\{\frac{b-1}{n2^n},1\right\}$，则 $a^n=\sum\limits_{i=0}^n\binom{n}{i}\left(a-1\right)^i\lt 1+\sum\limits_{i=1}^n2^n\left(a-1\right)\le b$。$\forall a\in\mathbb{R},n,m\in\mathbb{Z}, a^na^m=a^{n+m}$
证明：讨论 $n,m$ 与 $0$ 的大小关系，由乘法结合律可得。$\forall a,b\in\mathbb{R},n\in\mathbb{Z}, a^nb^n=\left(ab\right)^n$
证明：讨论 $n$ 与 $0$ 的大小关系，由乘法交换律可得。$\forall a\in\mathbb{R},n,m\in\mathbb{Z}, \left(a^m\right)^n=a^{nm}$
证明：讨论 $n,m$ 与 $0$ 的大小关系，由乘法结合律可得。$\forall a\gt 1,b\gt 0,\exist n\in\mathbb{N}^{\star},a^n\gt b$。
证明：取 $n=\left\lceil\frac{b-1}{a-1}\right\rceil$，则 $a^n\gt 1+n\left(a-1\right)\ge b$。$\forall b\gt 0,n\in \mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\},\exist a\gt 0,\mathrm{s.t.} a^n=b$ 且 $a$ 唯一。
证明：考虑 $n\gt 0$ 的情况。$n\lt 0$ 时令 $n'=n,a'=\frac{1}{a},b'=\frac{1}{b}$ 即可。 令 $a=\sup\left\{x\vert x^n\le b\right\}$，则由极限保序性 $a^n\le b$，若 $a^n\lt b$，令 $\mu$ 满足 $\mu\gt 1,\mu^n\lt\frac{b}{a^n}$，则 $\left(\mu a\right)^n\lt b$，矛盾。 $a$ 的唯一性由 $x^n$ 的单调性可知。
证明：设 $x=\sqrt[n]{a},y=\sqrt[n]{b}$，由指数的性质可得。$\forall a\gt 0, n,m\in\mathbb{N}^{\star}, \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}$
证明：设 $x=\sqrt[nm]{a}$，由指数的性质可得。$\forall a\gt 0,n\in\mathbb{N}^{\star},m\in\mathbb{Z},\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$
证明：讨论 $m$ 与 $0$ 的大小关系，归纳可得。$\forall x\ge 0,k\in\mathbb{N}^{\star}, \sqrt[km]{x^{kn}}=\sqrt[m]{x^n}$。
证明：设 $y=\sqrt[km]{x}$，则 $\sqrt[m]{x^n}=\left(\sqrt[m]{x}\right)^n=y^{kn}$，$\sqrt[km]{x^{kn}}=\left(\sqrt[km]{x}\right)^{kn}=y^{kn}$，得证。
$\forall a,b\gt 0,n\in\mathbb{Q},a\lt b$，则 $n\gt 0$ 时 $a^n\lt b^n$，$n\lt 0$ 时 $a^n\gt b^n$，$n=0$ 时 $a^n=b^n$。
$\forall a,b\ge 0,n\in\mathbb{Q}, a^nb^n=\left(ab\right)^n$
$\forall a\ge 0,n,m\in\mathbb{Q}, \left(a^m\right)^n=a^{nm}$
$\forall b\ge 0,n\in \mathbb{Q}\setminus\left\{0\right\},\exist a\gt 0,\mathrm{s.t.} a^n=b$ 且 $a$ 唯一。
$\forall a\gt 1,b\gt 1,\exist x\in\mathbb {Q}_+,\mathrm{s.t.} a^x\lt b$
以上证明略。
$\forall a,b\gt 0,n\in\mathbb{N},ab^n\le\left(\frac{a+nb}{n+1}\right)^{n+1}$，当且仅当 $a=b$ 时取等。
证明：$\left(\frac{a+nb}{n+1}\right)^{n+1}=b^{n+1}\left(1+\frac{\frac{a}{b}-1}{n+1}\right)^{n+1}\ge ab^n$，取等当且仅当 $\frac{a}{b}-1=0$，得证。$\forall n\in\mathbb{N}^{\star},a_1,a_2,\cdots,a_n\ge 0,\frac{\sum\limits_{i=1}^n a_i}{n}\ge\sqrt[n]{\prod\limits_{i=1}^n a_i}$，当且仅当 $a_i$ 均相等时取等。
证明：存在 $a_i=0$ 时显然成立。下设 $a_i\gt 0$。对 $n$ 归纳，$n=1$ 时显然成立。 $n\gt 1$ 时，$\left(\frac{\sum\limits_{i=1}^n a_i}{n}\right)^n=\left(\frac{a_n+\left(n-1\right)\frac{\sum\limits_{i=1}^{n-1}a_i}{n-1}}{n}\right)^n\ge a_n\left(\frac{\sum\limits_{i=1}^{n-1}a_i}{n-1}\right)^{n-1}\ge\prod\limits_{i=1}^n a_i$，取等当且仅当 $a_n=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n-1}a_i}{n-1}=\sqrt[n-1]{\prod\limits_{i=1}^{n-1}a_i}$。得证。设 $a\in\mathbb{Q},x\gt -1$，如果 $0\lt a\lt 1$，则 $\left(1+x\right)^a\le 1+ax$；如果 $a\lt 0$ 或 $a\gt 1$，则 $\left(1+x\right)^a\ge 1+ax$。当且仅当 $x=0$ 时等号成立。
证明：$0\lt a\lt 1$ 时，设 $a=\frac{m}{n}$，则 $\left(1+x\right)^a=\sqrt[n]{\left(1+x\right)^m\cdot 1^{n-m}}\le\frac{m\left(1+x\right)+n-m}{n}=1+ax$，取等当且仅当 $1+x=1$ 即 $x=0$。$\forall a,b\gt 1,\exist x\in\mathbb{Q}_+,\mathrm{s.t.} a^x\lt b$
$a\gt 1$ 时，若 $1+ax\le 0$ 则显然成立，若 $1+ax\gt 0$ 则 $1+x=1+\frac{1}{a}\cdot ax\ge\left(1+ax\right)^{\frac{1}{a}}$，得 $\left(1+x\right)^a\ge 1+ax$，当且仅当 $x=0$ 时取等。
$a\lt 0$ 时，若 $1+ax\le 0$ 则显然成立，若 $1+ax\gt 0$，取正整数 $n$ 使 $0\lt -\frac{a}{n}\lt 1$，则 $1-\frac{a}{n}x\ge\left(1+x\right)^{-\frac{a}{n}}$，则 $\left(1+x\right)^{\frac{a}{n}}\ge\frac{1}{1-\frac{a}{n}x}\ge 1+\frac{a}{n}x$，则 $\left(1+x\right)^a\ge\left(1+\frac{a}{n}x\right)^n\ge 1+ax$，当且仅当 $x=0$ 时取等。
证明：$a\le b$ 时显然。$a\gt b$ 时令 $0\lt x\lt\frac{b-1}{a-1}$ 且 $x\in\mathrm{Q}_+$，则 $x\lt 1$，$a^x\lt 1+x\left(a-1\right)\lt b$。
$\forall a,b\gt 0,n\in\mathbb{R},a\lt b$，则 $n\gt 0$ 时 $a^n\lt b^n$，$n\lt 0$ 时 $a^n\gt b^n$，$n=0$ 时 $a^n=b^n$。
$\forall a\gt 0,n,m\in\mathbb{R},a^na^m=a^{n+m}$
$\forall a,b\gt 0,n\in\mathbb{R},a^nb^n=\left(ab\right)^n$
$\forall a\gt 0,n,m\in\mathbb{R},\left(a^m\right)^n=a^{nm}$
$\forall b\ge 0,n\in \mathbb{R}\setminus\left\{0\right\},\exist a\gt 0,\mathrm{s.t.} a^n=b$ 且 $a$ 唯一。
以上证明略。
$\forall a\gt 0,b\gt 1,\exist x\gt 0$，有 $x^a\lt b$
证明：令 $a\gt\max\left\{a',1\right\},a\in\mathbb{Q}$。令 $x=\frac{b-1}{a}$，则 $x^a\lt 1+x\left(a-1\right)=b$。$\forall a\gt 0,b=\lim\limits_{n\to +\infty}\left\{x_n\right\}$，$\lim\limits_{n\to +\infty}a^{x_n}=a^b$
证明：$a=1$ 时显然。$\forall b\gt 0,a=\lim\limits_{n\to +\infty}\left\{x_n\right\}$，有 $\lim\limits_{n\to +\infty}x_n^{b}=a^b$
$a\neq 1$ 时，$\forall 0\lt \epsilon\lt a^b$，存在 $\delta\gt 0$，令 $\delta$ 满足 $\max\left\{a,\frac{1}{a}\right\}^\delta\lt 1+\frac{\epsilon}{a^b}$。
必存在 $N$ 使得 $n\gt N$ 时有 $\lvert x_n-b\rvert\lt \delta$，则 $\lvert a^{x_n}-a^b\rvert\lt\epsilon$。
$\forall 0\lt \epsilon\lt a^b$，取 $\delta\gt 1$ 使得 $\delta^{\lvert b\rvert}\lt 1+\frac{\epsilon}{a^b}$。设 $a\in\mathbb{R},x\gt -1$，如果 $0\lt a\lt 1$，则 $\left(1+x\right)^a\le 1+ax$；如果 $a\lt 0$ 或 $a\gt 1$，则 $\left(1+x\right)^a\ge 1+ax$。当且仅当 $x=0$ 时等号成立。
必存在 $N$ 使得 $n\gt N$ 时有 $\lvert x_n-a\rvert\le \frac{\delta-1}{\delta}a$，则 $\lvert x_n^b-a^b\rvert\lt\epsilon$。
证明：用有理数数列逼近 $a$ 即可。$\forall a\in\mathbb{R}_+\setminus\left\{1\right\},b\gt 0$，存在唯一实数 $n$ 使得 $a^n=b$。
考虑 $a\gt 1$ 的情况。$a\lt 1$ 时令 $a'=\frac{1}{a},n'=-n$ 即可。 令 $n=\sup\left\{r\in\mathbb{Q}_+\vert a^r\le b\right\}$，则由极限保序性知 $a^n\le b$。 若 $a^n\lt b$，则必存在 $\delta\gt 0$ 使得 $a^\delta\lt\frac{b}{a^n}$，则 $a^{n+\delta}\lt b$，矛盾。 唯一性由 $x^n$ 的单调性可知。
$\forall a,b,c\gt 0, a\neq 1, c\neq 1, \log_{a}b=\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}}$
$\forall a,c\gt 0,a\neq 1,b\neq 0,d\in\mathbb{R},\log_{a^b}c^d=\frac{d}{b}log_{a}c$
以上证明略。
$\forall x\neq 0,\mathrm{e}^x=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\frac{x^i}{i!}=\lim\limits_{n\to \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to 0}\left(1+xn\right)^{1/n}$
$y=\ln x$ 和 $y=\mathrm{e}^x$ 在定义域上连续且单调递增。
以上证明略。
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln\left(1+x\right)}{x}=1$
证明：$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln\left(1+x\right)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\ln\left(\left(1+x\right)^{1/x}\right)=\ln\mathrm{e}=1$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}=1$
证明：令 $y=\mathrm{e}^x-1$，则 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}=\lim\limits_{y\to 0}\frac{y}{\ln\left(y+1\right)}=1$$\left(\ln x\right)'=\frac{1}{x},\left(\mathrm{e}^x\right)'=\mathrm{e}^x$
$\forall a\in\mathbb{R}_+\setminus\left\{1\right\},\left(\log_{a}x\right)'=\frac{1}{x\ln a}$
$\forall a\gt 0,\left(a^x\right)'=a^x\ln a$
$\forall a\neq 0, \left(x^a\right)'=ax^{a-1}$
以上证明略。 标签：gt,frac,实数,lt,right,forall,对数,系中,left From： https://www.cnblogs.com/bestlxm/p/16819026.html