前置知识:二次曲线系
考虑二次曲线 \(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\) 只需要平面内 5 个点(任意 3 点不共线)即可唯一确定。所以如果用 4 个点进行限制,放开 1 个自由度,就能表示一类曲线。然后再与已知直线联立,就可以求得一些关系。
常见形式是 \(\mu C_1+\lambda C_2=C_3\)。
这个 \(C_i\) 是某种二次曲线,如:圆、椭圆、双曲线、两根直线。
例一:拉尔瓦定理
已知抛物线 \(C:y^2=2px(p>0)\),\(D(n,0),E(m,0)\) 为其对称轴上两点,\(M\) 是 \(C\) 上异于原点 \(O\) 的一动点,直线 \(ME\) 交 \(C\) 于 \(N\),直线 \(MD\) 交 \(C\) 于 \(P\),直线 \(MD\) 交 \(C\) 于 \(Q\),直线 \(PQ\) 交 \(C\) 的对称轴于 \(G\)。
求证:\(G\) 为定点。
![image-20201212190410230](/i/l/?n=22&i=blog/2866421/202210/2866421-20221019212401200-1069791624.png)