一. 狄利克雷卷积
对于两个数论函数，我们定义定义狄利克雷卷积：$ * $
那么对于数论函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) ，他们的狄利克雷卷积结果为 \(h(x)\) 定义为：
\[ h(x) = \sum_{d|x}{f(d)g(\frac{x}{d})} \]简记为
\[ h(x) = f(x) * g(x) \]此运算满足:
- 交换律:
- 结合律:
- 分配律:
二. 莫比乌斯反演
1.莫比乌斯函数
\(\mu\) 为莫比乌斯函数， 其定义为:
\[\begin{aligned} \mu(n) = \left\{\begin{matrix} 1 & n = 1\\ (-1)^x & \prod_{i = 1}^{x}{k_i = 1}\\ 0 & \max\{ k_i \} \geq 2 \\ \end{matrix}\right. \end{aligned} \]莫比乌斯函数为积性函数， 并有如下性质
\[\begin{aligned} \mu(d) = \left\{\begin{matrix} 1 & n = 1 \\ 0 & n \neq 1 \\ \end{matrix}\right. \end{aligned} \]即 $ \sum_{d|n}{\mu(d) = \epsilon(n)}， \mu * 1 = \epsilon $
反演结论: $ [gcd(i,j) = 1] = \sum_{d|gcd(i,j)}{\mu(d)} $
2.莫比乌斯变换
设 \(f(x)\) , \(g(x)\) 为两个数论函数。
形式一: 如果有 \(f(n) = \sum_{d|n}{g(d)}\) , 那么有 \(g(n) = \sum_{d|n}{\mu(d)f(\frac{n}{d})}\)
这种形式下，数论函数 \(f(n)\) 称为数论函数 \(g(n)\) 的莫比乌斯变换，数论函数 \(g(n)\) 称为数论函数 \(f(n)\) 的莫比乌斯逆变换(反演)。
形式二: 如果有 \(f(n) = \sum_{n|d}{g(d)}\) ，那么有 \(g(n) = \sum_{n|d}{\mu(\frac{d}{n})f(d)}\)
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