反常积分

标签：infty int 积分 dx 反常 mathrm

Definition

设函数\(f(x)\)在无穷区间\([a, +\infty)\text{上连续, 取}b>a\), 如果极限 $$\lim_{b\to+\infty}\int_a^bf(x)dx$$

存在，则称此极限值为函数\(f(x)\)在无穷区间\([a, +\infty)\)上的反常积分(或广义积分), 记作\(\int_a^{+\infty}f(x)dx\), 即

\[\int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=\lim_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \]

这时也称反常积分\(\int_a^{+\infty}f(x)dx\)收敛.

反之，则称反常积分\(\int_a^{+\infty}f(x)dx\)发散.

同样，可以定义\(f(x)\)在\((-\infty, b], (-\infty, +\infty)\)上的反常积分.

设\(f(x)\)在区间\((-\infty, b]\)上连续，取\(a<b\), 如果极限

\[\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \]

存在, 则称此极限值为函数\(f(x)\)在无穷区间\((-\infty, b]\)上的反常积分，记作: \(\int_{-\infty}^{b}f(x)dx\), 即:

\[\int_{-\infty}^{b}f(x)dx=\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx \]

这时也称反常积分\(\int _{- \infty }^bf( x)dx\) 收敛.
如果上述极限不存在，就称反常积分\(\int _{- \infty }^bf( x)dx\) 发散.

\[\int_{-\infty}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\lim_{a\to\infty}\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x. \]

设函数\(f(x)\)在区间\((-\infty,+\infty)\)内连续，如果反常积分

\[\int_{-\infty}^{0}f(x)\mathrm{d}x\quad\text{和}\quad\int_{0}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x \]

都收敛，则称上述两反常积分之和为函数\(f(x)\)在无穷区间(-\(\infty,+\infty)\)内的反常积分，记作
\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx\),即:

\[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{0}f(x)\mathrm{d}x+\int_{0}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x. \]

这时也称反常积分\(\int _{- \infty} ^{+ \infty }f( x)dx\) 收敛.

否则，就称反常积分\(\int _{- \infty} ^{+ \infty }f( x)dx\) 发散.

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无界函数的反常积分

将定积分推广到被积函数为有限区间上的无界函数的情形。

Definition 2

\(f(x)\) 在区间\((a,b]\)上连续，且\(\lim _x\to a^+ f( x) = \infty . \textbf{任 取 }\varepsilon > 0\),

如果极限

\[\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a+\varepsilon}^bf(x)\mathrm{d}x \]

存在，则称此极限值为无界函数 \(f(x)\) 在\((a,b]\)上的反常积分(或广义积分),记作\(\int _{b}^{b}f( x)dx\),即

\[\int_{a}^{b}f(x)\:\mathrm{d}x=\lim_{\varepsilon\to0^{+}}\int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)\:\mathrm{d}x. \]

这时也称反常积分\(\int_a^bf(x)\)d\(x\) 收敛.若上述极限不存在，则称反常积分\(\int_a^bf(x)dx\) 发散.

类似地，设 \(f(x)\) 在\([a,b)\)上连续，且\(\lim_x\to b^-f(x)=\infty\),如果极限

\[\int_{a}^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x=\lim_{\epsilon\to0^{+}}\int_{a}^{b-\epsilon}f\left(x\right)\mathrm{d}x \]

存在，则称反常积分\(\int _a^bf( x)dx\) 收敛，并称此极限值为该反常积分的值；如果上述极限不存在，

则称反常积分\(\int_a^bf(x)dx\) 发散.

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设 \(f(x)\) 在区间 \([a, c)\) 及区间 \((c, b]\) 上连续, 且 $$\lim _{x \rightarrow c} f(x)=\infty$$

如果反常积分 \(\int_{a}^{c} f(x) d x\) 和 \(\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x\)均收敛, 则称反常积分 \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) 收敛,
并称反常积分 \(\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x\) 和 \(\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) 的值之和为反常积分 \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) 的值;

否则称反常积分 \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) 发散.

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