定积分之奇偶函数公式

标签：奇偶 begin end int 公式 dx 积分 dt Rightarrow

brief

• 若\(f(x)\)在 \([-a,a]\) 上连续且为偶函数，则:

\[\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx \]

• 若\(f(x)\)在 \([-a,a]\) 上连续且为奇函数，则:

\[\int_{-a}^{a}f(x)dx=0 \]

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prove

• invoke: 定积分的性质

Part 0

\[\begin{align} 根据定积分的性质2: \\ \int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx \\ \\ \begin{cases} 设:t=-x \\ \\ 则:dt=-dx, \enspace -dt=dx\end{cases} \\ \\ \\ \\ 其中第一项:\int_{-a}^{0}f(x)dx\Rightarrow\int_{-a}^{0}f(-t)-dt \\ \\ [A,B]=[-a,0] \\ \\ \begin{cases} 当:x=A=-a=-t, \enspace t=a=\alpha \\ \\ 当:x=B=0=t,\enspace t=0=\beta \end{cases} \\ \\ \\ \\ \boxed{[\alpha,\beta]=[a,0]} \\ \\ TODO: \\ \\ {\Rightarrow-\int_{a}^{0}f(-t)dt=\int_{0}^{a}f(-t)dt} \\ \\ 因此第一项得到: \int_{0}^{a}f(-t)dt=\int_{0}^{a}f(-x)dx \\ \\ \\ \\ \Rightarrow\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(-x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx \\ \\ =\int_{0}^{a}[f(-x)+f(x)]dx \end{align} \]

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Part 1

\[\begin{align} 如果f(x)是偶函数: \\ \\ f(x)=f(-x) \Rightarrow f(x)+f(-x)=2f(x) \\ \\ \Rightarrow \int_{0}^{a}[f(-x)+f(x)]dx= \int_{0}^{a}2f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx \\ \\ \Rightarrow\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx \\ \\ \\ \\ 如果f(x)是奇函数: \\ \\ f(x)=-f(-x) \\ \\ \Rightarrow -f(x)=f(-x) \\ \\ f(x)+[-f(-x)]=f(x)-f(x)=0 \\ \\ \Rightarrow\int_{0}^{a}\left[f\left(x\right)-f\left(x\right)\right]dx=0 \\ \\ \Rightarrow\int_{-a}^{a}f(x)dx=0 \end{align} \]

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