今天好热，并且才考完试，脑袋有点宕机，因此本文可能有误，如果你发现错误，请告诉我。
证明：
\[\sum_{d\mid n}\frac{\mu(d)}{d}\sum_{k\mid d,2\nmid k}\varphi(k)2^{n/k}=\frac{\varphi(n)}n\sum_{d\mid n,2\nmid d}2^{n/d}\mu(d) \]我们先证明一个引理。
如果 \(a\perp b\)，\(f(a+b)=f(a)f(b),g(a)g(b)=g(ab)\)，则
\[f^x*g(p^k)=F^x*G(p^k)\Rightarrow f*g(n)=F*G(n) \]\(\forall x\in \R^+,p\in \mathcal P,k\in \N\)。
只需注意到，设 \(nH\) 是各 \(d_{1:n}\) 的调和平均数。
\[f(\prod d_i)=\left(\prod f(d_i)\right)^H \]那么，在这里我们考虑把两边换成 \(f*g\) 的形式。注意到，积性函数若只保留奇数点值还是积性函数，并且上面的引理显然允许我们点乘积性函数或增加 \(f\) 或者 \(g\)。
我们把两边凑形式的工作留给读者。然后我们干的事情就是把 \(2\) 这个底数换成任意底数，然后证明 \(n=p^k\) 成立。这是不困难的。
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