这是对RobertAndrews和AviWigderson最近的一篇预印本,Constant-DepthArithmeticCircuitsforLinearAlgebraProblems的解读.这里的电路指的是代数电路,代数意义的\(\mathsf{AC^0}\)就是多项式大小的常数层电路,每个门都是乘法或加法,同时可以有任意多个输入.大

闲话果然我还是喜欢阿育的罐头啊。推歌：悲伤虚构反应by一般诗云pfeat.诗岸多元拉反\(1\)到\(2\)的推导前传x义x博客里没有展开说如何暴力展开行列式，可能是trivial。我觉得不很trivial啊！来展开一下。我们首先要处理的就是\[A=\left\{[i=j]-\frac{x_i}{g_j

思路首先发现\(\sum_{i=1}^{n}i^k\)是一个\(k+1\)次多项式，那么我们需要求出\(k+2\)个点才能得到唯一的一个\(f(t)=\sum_{i=1}^{t}{i^k}\)。不难通过拉格朗日插值法，将\(x=1\sim(k+2)\)的情况一一带入：\[f(n)=\sum_{i=1}^{k+2}{((\sum_{j=1}^{i}

中考？不做评价。Question1【AGC023E】给定一个长度为\(n\)的正整数序列\(A\)，对于一个长度为\(n\)的全排列\(P\)，记\(I(P)\)表示\(P\)的逆序对数量，求：\[\underset{\forall1\leqi\leqn,P_i\leqA_i}{\sum}I(P)\]\(1\leqn\leq2\times10^5,1\leqA_i\leqn\)

//int31n也就是下面这个函数,跟上面Int31n效果是一样的.但是效率更高.算法不一样.这个算法非常精彩,效率也更高.//int31nreturns,asanint32,anon-negativepseudo-randomnumberinthehalf-openinterval[0,n).//nmustbe>0,butint31ndoesnotcheckthis;

后端多环境主要是修改：    依赖的环境地址        数据库地址        缓存地址        消息队列地址        项目端口号    服务器配置后端怎么去区分不同的环境？我们后端的SpringBoot

运行Vue3项目，控制台警告：Featureflag VUE_PROD_HYDRATION_MISMATCH_DETAILS isnotexplicitlydefined.Youarerunningtheesm-bundlerbuildofVue,whichexpectsthesecompile-timefeatureflagstobegloballyinjectedviathebundlerconfiginordertogetbet

CF1938M计数以下序列\(\langa\rang\)的个数：\[\sum_{i=1}^ma_i=n\\\forall1<i<m,(a_i-a_{i-1})(a_i-a_{i+1})>0\]给出\(n(n\le3\times10^5)\)。这里的形式大约是$a_1<a_2{\color{red}>}a_3<a_4{\color{red}>}a_5<a_6\dots$，我们把红色部分拿来容斥

1.P10547的一个结论（虽然当时不会dp。。。）一个排列的最小交换代价是\(\dfrac{\sum|i-p_i|}{2}\)。注意到若设每个点的势能是\(|i-p_i|\)，一次代价为\(W\)的操作的最多使得总势能减少\(2W\)。因此有不等式：\[Ans\ge\frac{\sum|i-p_i|}{2}\]猜想其可以取到下界。证明：只

题意原题链接求\(A^B\)的约数之和\(\bmod9901\)sol\(x\)的约数之和\(f(x)\)可以通过以下公式计算根据算数基本定理，将\(x\)分解为$$\prod_{i=1}^ka_i^{p_i}$$则$$f(x)=\prod_{i=1}^k\sum_{j=0}^{p_i}a_i^j=\prod_{i=1}^k\frac{a_i^{p_i+1}-1}{a_i-1}$$证明根据

信息《MySQL必知必会》福塔人民邮电出版社摘录基本概念数据库保存有组织的数据的容器（通常是一个文件或一组文件）。表某种特定类型数据的结构化清单。模式关于数据库和表的布局及特性的信息。有时，模式用作数据库的同义词。主键一列或一组列，其值可以唯一区分表中

官网地址:https://www.summer-data.com代码库地址：https://gitee.com/hahan2020/summer-datasummer-data是什么？summer-data设计用于替代mybatis和hibernate。从个人角度挑一些它们和springjdbc-template的缺点，这些缺点是我创作summer-data的原因。mybatis需

题意：给定\(k\)，求一个最小的\(n\)使得有恰好\(k\)个\(i\in[1,n]\)，满足对于所有\(j\in[1,n]\)，都有\(x\)满足\(ix=j\modn\)并且\(ix\len^2\)​。里面所有数都是正整数。Sol：我们考虑\(\gcd(x,n)>1\)的\(x\)。因为\(\gcd(x,n)>1\)，所以\(\operatorname{lcm}(x,n

引入Prüfer序列可以用于求解序列与树的双射，常用于组合计数问题。定义Prüfer序列指的是每次选取一个编号最小的叶子，删除它，然后在序列中记录它所链接的点，重复以上步骤直到只剩下两个节点。过程对树建立Prüfer序列显然可以用堆实现一个朴素的\(\mathcal{O}(n\logn)\)

做完前面那道CF有感。首先这是纯粹的自己研究的东西，没有任何教学价值，想找资料的去别处找吧（）本文都省略求和积上下限因为我懒。推个式子。\[\left[x^ay^b\right]\prod(a_ix+b_iy+c_i)\]这玩意组合意义等价于：有\(n\)个球，每个球有\(a_i\)种方案涂成红色，\(b_i\)种方案

selectvend_name,prod_name,prod_pricefromvendors,productsorderbyvend_name,prod_name;返回所有的组合，笛卡尔积。selectvend_name,prod_name,prod_pricefromvendorsinnerjoinproductsonvendors.vend_id=products.vend_id内联结(等值连接)select

本篇MySQL语句笔记录笔记所引用案例为B站未明学院SQL课程教学案例，个人觉得这个UP主的视频讲解特别仔细，感兴趣小伙伴可以去听听~一、数据库操作（MySQL运行界面）按Pageup和Pagedown可以将之前出现过的命令正序或者倒序展示，避免重复输入命令。--展示所有的数据库SHOWDATABASE

检索列prod_name包含文本1000的所有行selectprod_namefromproductswhereprod_nameREGEXP'1000'orderbyprod_name;.在正则中表示一个字符selectprod_namefromproductswhereprod_nameREGEXP'.000'orderbyprod_name;结果：Jet1000Jet2000OR匹配sel

%表示任何字符出现任意次数，匹配0，1，多个字符，但是不能匹配Null找出所有以为jet开头的产品，selectprod_id,prod_namefromproductswhereprod_namelike'jet%';注意：区分大小写，不匹配‘JetPack1000’前后两端都适用，包含jetselectprod_id,prod_namefromproductswherep

HomeworkfromZhejiang本题希望解决的问题是：给定两个（首一）多项式\(f,g\)，设\(n=\degf,m=\degg\)。求出\(\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^m(x_i+y_j)\)，这里\(x_i,y_j\)是\(f,g\)的所有根。首先需要理解一下为什么这个式子能求出来：若\(f,g\)的系数都属于数域\(K\)内，为何

一、欧拉函数定义\([1,n]\)中与\(n\)互质的数的个数，称为欧拉函数，记为\(\varphi(n)\)。互质的定义：对于正整数\(a\)和\(b\)，若\(gcd(a,b)=1\)，则\(a\)和\(b\)互质。性质若\(p\)是质数，则\(\varphi(p)=p-1\)。证：因为\(p\)是质数，所以因数只有\(1\)和\(p\)。

11莫比乌斯函数尝试按照《具体数学》的顺序引入莫比乌斯反演。11.1引入莫比乌斯函数\(\mu(m)\)是根据19世纪的数学家奥古斯特·莫比乌斯命名的，他还发现了著名的莫比乌斯带，\(\mu(m)\)对所有整数\(m\ge1\)由等式\[\sum_{d\midm}\mu(d)=[m=1]\]来定义。这个式

LaTex上标/下标$a_2$$a^2$attent:如果上下标的内容超过一个字符，则需要用花括号{}包裹，否则上下标只对后面的一个符号起作用下标：$a_2$上标：$a^2$大于等于$\geqslant$$\leqslant$大于等于：$\geqslant$小于等于：$\leqslant$希腊字母命令显示命令显示\alp

题目所求即\[\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mf_{gcd(i,j)}\]由于没有出现\([gcd(i,j)=1]\)，所以枚举\(gcd\)强行凑（下面对乘积的强行凑记住），原式就等于\[\prod_{d=1}^{min(n,m)}\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mf_{gcd(i,j)}^{[gcd(i,j)=d]}=\prod_{d=1}^{min(n,m)}\prod_{p=1}^{\frac{n}{d

伯特兰公设任意\(\ge4\)的正整数\(n\)满足：存在一个质数\(p\in(n,2n)\)。以下\(p\)均取质数，\(p_i\)表示第\(i\)个质数。引理1：\[\prod_{p\len}p\le4^n,n>1\]首先有一个想法：\[\ln\prod_{p\len}p\le\pi(n)\lnn\simn\len\ln4\]这些放缩是相当松的，因为