\(1.\) 定义和性质
\(\textbf{定义 1 } \text{(分拆)}\)
定义整数 \(n\) 的一个拆分为 \(\lambda = (\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_m)\)，满足 \(\forall i, \lambda_i \ge \lambda_{i + 1}\)，且 \(\lambda_i\) 的加和为 \(n\)。记其为 \(\lambda \vdash n\)，并令 \(\lvert \lambda \rvert = n\)，\(\ell (\lambda) = m\)。
对分拆和有基础限制分拆的计数不再展开，可以由生成函数直接推导得到结果。
杨表的组合结构可能来自于这样一个有趣的问题：有一个直角形状、大小无限的桶，现在要向其中放入 \(n\) 个大小相同的球，形成一个稳定的形状。那么，有多少种放球的方案呢？
一种依次放入五个球的例子如下：
我们该如何将这样的方案抽象成组合结构呢？分拆为我们提供了一种方法——
\(\textbf{定义 2 } \text{(杨图)}\)
对一个拆分 \(\lambda \vdash n\)，形状为 \(\lambda\) 的杨图（Young diagram）为一个 \(\ell (\lambda)\) 行、第 \(i\) 行由 \(\lambda_i\) 个单位方格排列而成的表格，每行的方格左对齐，记作 \([\lambda]\)。称 \([\lambda]\) 的高度为 \(\ell(\lambda)\)。
若将单位方格换为单位点，其便被称为 Ferrers 图。
有三种画杨图的方式：英式，短行在下；法式，长行在下；俄式，直角在下。一般采用英式画法（虽然 tableau 是法文）。
若对 \(\lambda \vdash n\) 和 \(\mu \vdash n\)，有 \(\ell (\lambda) \ge \ell (\mu)\)，且 \(\forall i, \lambda_i \ge \mu_i\)，那么我们称 \(\lambda\) 包含 \(\mu\)。容易看出这包含关系是分拆集合上的一个偏序关系。
杨图中每个单位方格的位置可以唯一地用其所在行和列表示。若我们将行按照方格数由大到小、列按照由左向右标号（由 \(1\) 开始），那么一个杨图 \([\lambda]\) 可以被表示为集合 \(\{(i, j)\mid 1\le i\le \ell(\lambda), 1\le j\le \lambda_i\}\)。这样若 \(\lambda\) 包含 \(\mu\)，有 \([\mu] \subseteq [\lambda]\)。
对这种集合表示方法，我们也可以推广一下，用 \(\mathbb Z^2\) 的子集来表示一个图（diagram）。这里的横坐标表示行数，其由上到下递增；纵坐标表示列数，其由左到右递增。按四联通的方式建图，我们也可以自然地定义图论相关性质。
一个拆分 \(\lambda \vdash n\) 也可以被描述为无穷序列 \((\lambda_1, \lambda_2, \dots)\)，只需要令 \(\forall i > \ell (\lambda), \lambda_i = 0\)。定义 \(\lambda\) 的共轭（或转置）分拆为 \(\lambda' \text{ s.t. } \forall \lambda'_k = \left\lvert \left\{ i > 0 \mid \lambda_i \ge k\right\} \right\rvert\)。若把这过程放在图形上，那么 \([\lambda]\) 到 \([\lambda']\) 就是沿主对角线作对称，或行列互换。
\(\textbf{定义 3 } \text{(杨表)}\)
对一个形状为 \(\lambda \vdash n\) 的杨图 \([\lambda]\)，若将 \(1\sim n\) 这 \(n\) 个正整数填入每个单位方格，使得每一行从左到右、每一列从上到下的数字都严格递增，就得到了一个形状为 \(\lambda\) 或 \([\lambda]\) 的（标准，standard）杨表（Young tableau）。容易知道，正整数集可以被替换为任意具有全序的集合，这时的杨表被称作近似（near）杨表。普通杨表也是近似杨表。
若这 \(n\) 个正整数可以被重复填入，那么就会存在非严格递增的情况。若每一行从左到右的数字非严格递增，但每一列从上到下的数字严格递增，就得到了半标准（semistandard）杨表。
对一个形状为 \(\lambda \vdash n\) 的杨表，其权重为 \((c_1, c_2, \dots, c_n)\)，其中 \(c_i\) 表示 \(i\) 在杨表中出现的次数。容易知道标准杨表的权重必定为 \((1, 1, \dots, 1)\)。
记杨表 \(P\) 的形状为 \(\text{sh}(P)\)，其既可以是拆分，也可以是杨图。
对杨图 \(D\)，令 \(\text{SYT}(D)\) 为形状为 \(D\) 的标准杨表，并令 \(f^D = \lvert \text{SYT}(D) \rvert\)。对拆分 \(\lambda\) 类似地定义上述记号。注意到若 \(\lambda\) 的转置为 \(\lambda'\)，则 \(f^\lambda = f^{\lambda'}\)。例如：
\(\textbf{定义 3 } \text{(斜)}\)
对两个拆分 \(\lambda, \mu\)，若 \([\mu] \subseteq [\lambda]\)，那么形状为 \(\lambda / \mu\) 的斜（skew）杨图 \([\lambda / \mu]\) 由集合差 \([\lambda] / [\mu]\) 定义，即集合 \(\{(i, j) \in [\lambda]\mid \mu_i + 1\le j\le \lambda_i\}\) 对应的图。
例如：
下文中的“杨表”指代标准杨表。
\(2.\) 确定杨图，对杨表的计数
\(\textbf{定理 1 } \text{(钩长公式)}\)
对任意拆分 \(\lambda\)，以及其中的一个方格 \(c = (i, j) \in [\lambda]\)，定义其钩（hook）为
\[H_c = [\lambda] \cap \left(\{(i, j)\} \cup \{(i, j’) \mid j' > j\} \cup \{(i', j) \mid i' > i\} \right) \]即 \(c\) 及其正右方、正下方的格子。记 \(\lambda'\) 为 \(\lambda\) 的共轭，其钩长（hook length）为 \(h_c = \lvert H_c \rvert = \lambda_i + \lambda'_j - i- j + 1\)。那么有钩长公式（hook length formula）
\[f^\lambda = \frac{\left\lvert \lambda \right\rvert !}{\prod_{c\in [\lambda]} h_c} \]
证明：我们将使用一个概率论的方法\({}^{[4]}\)。
取自然数列 \((\lambda_1, \lambda_2, \dots)\)。若 \(\lambda \vdash n\)，则令 \(F(\lambda_1, \lambda_2, \dots)\) 为定理 \(1\) 中的 RHS，反之令其为 \(0\)。考虑 LHS 的组合意义，我们需要递推，每次加入一个元素。考虑元素 \(n\)。由于 \(n\) 大于当前杨表中任意其他元素，其必定在某行/列的末尾位置（角落，钩长为 \(1\)）。因此不妨令 \(n\) 位于第 \(\alpha\) 行，我们要证明的就是
\[F(\lambda_1, \lambda_2, \dots) = \sum_{\alpha} F(\lambda_1, \dots, \lambda_{\alpha - 1}, \lambda_\alpha - 1, \lambda_{\alpha + 1}, \dots) \]简记为
\[F = \sum_{\alpha} F_\alpha \]注意上式确实枚举了所有的角落，这是由于若 \(\alpha\) 行不出现角落，那么 \(\lambda_{\alpha + 1} = \lambda_\alpha\)，从而 \(\lambda_{\alpha + 1} > \lambda_\alpha - 1\) 使得这样的 \(F_\alpha = 0\)。
我们为什么要这样定义呢？这是由于，通过每次加入 \(n\)，我们可以得到所有的杨表，因此上式所拥有的结构的组合意义符合杨表的组合意义。我们只需要证明上式成立，也就是 RHS 具有和 \(f^\lambda\) 同样的组合形式，这也就证明了原式的等号。整理得到，我们要证明的就是
\[1 = \sum_{\alpha} \frac{F_\alpha}{F} \]考察一个基于杨图的随机过程，我们维护一个指针，并进行如下的操作：
- 初始，随机选择一个格子指向它；
- 在这个格子的钩中选一个格子，将指针指向它，随后检查当前位置；
- 若指针指向的格子在角落，结束这一过程；
- 反之，执行 \(2.\) 操作。
设这一过程结束于角落 \((\alpha, \beta)\) 的概率为 \(p(\alpha, \beta)\)。显然有 \(\sum_{\alpha} p(\alpha, \beta) = 1\)。因此，我们只需要证明
\[p(\alpha, \beta) = \frac{F_\alpha}{F} = \frac{1}{n} \left(\prod_{i = 1}^{\alpha - 1} \frac{h_{(i, \beta)}}{h_{(i, \beta) }- 1} \right)\left(\prod_{j = 1}^{\beta - 1} \frac{h_{(\alpha, j)}}{h_{(\alpha, j) }- 1} \right) \]令 \(p(A, B\mid a_1, b_1)\) 为该过程起始于 \((a_1, b_1)\)，终结于 \((\alpha, \beta)\)，路径上经过的横坐标组成集合 \(A = \{a_1, a_2, \dots\}\)，纵坐标组成集合 \(B = \{b_1, b_2, \dots\}\) 的概率。考虑第一步是水平方向还是竖直方向，可以得到
\[p(A, B \mid a_1, b_1) = \frac{1}{h_{(a_1, b_1)} - 1} (p(A / \{a_1\}, B \mid a_2, b_1) + p(A, B / \{b_1\}\mid a_1, b_2)) \]使用归纳法，我们要证明
\[p(A, B\mid a_1, b_1) = \left(\prod_{i \in A, i\neq \alpha} \frac{1}{h_{(i, \beta) }- 1} \right)\left(\prod_{j \in B, j \neq \beta} \frac{1}{h_{(\alpha, j)} - 1} \right) \]这是由于 \(p(A / \{a_1\}, B \mid a_2, b_1) = (h_{(a_1, \beta)} - 1) \text{RHS}\)，\(p(A, B / \{b_1\}\mid a_1, b_2) = (h_{(\alpha, b_1)} - 1) \text{RHS}\)。但由于 \(h_{(a_1, b_1)} + 1 = h_{(a_1, \beta)} + h_{(\alpha, b_1)}\)，知道
\[p(A, B \mid a_1, b_1) = \frac{(h_{(a_1, \beta)} - 1) + (h_{(\alpha, b_1)} - 1)}{h_{(a_1, b_1)} - 1} \text{RHS} = \text{RHS} \]首先随机选择起始点 \((a, b)\)，并令 \(A \subseteq \{1, \dots, \alpha\}, B \subseteq \{1, \dots, \beta\}\) 有 \(a = \min A, b = \min B\)，我们有
\[p(\alpha, \beta) = \frac 1n \sum_{A, B} p(A, B\mid a_1, b_1) \]化简即可。\(\square\)
例如，\((1, 2)\) 的钩形如
\(\textbf{定理 2 } \text{(F. G. Frobenius, 1900)}\)
对拆分 \(\lambda\)，令 \(l_i = \lambda_i + \ell (\lambda) - i\)，那么
\[f^\lambda = \frac{\lvert \lambda\rvert !}{\prod_{i = 1}^{\ell (\lambda)} l_i !} \prod_{i < j} (l_i - l_j) \]
证明：等价于定理 \(1\)。\(\square\)
\(3.\) RSK 算法
虽然这是一个算法，但它实际上指出了一个排列与杨表对的双射。RSK 分别是 G. de B. Robinson， C. Schensted 和 D. E. Knuth。是你，高德纳！
下面我们将构造一个双射，从而证明
\[\sum_{\lambda \vdash n} \left(f^\lambda \right)^2 = n! \]令 \(\pi\) 对应的杨表对为 \((P_\pi, Q_\pi)\)。
RHS 的组合意义是经典的：长度为 \(n\) 的排列的数目，即 \(\lvert\mathcal S_n\rvert\)，但右侧该怎么得到呢？这就是 RSK 算法的核心思路：维护两个杨表，构造依排列顺序插入元素的操作，并通过一些限制使得其形状保持相同。
既然依排列顺序，那么我们就不能保证插入过程中维护的是杨表，而只能保证这是一个近似杨表。假设我们有一个近似杨表 \(P\)，记 \(P\leftarrow k\) 为将 \(k\) 自第一行插入 \(P\) 的操作，称其为一次行插入。需要执行如下的程序：
- 执行过程中，维护当前行变量 \(c\) 与当前值变量 \(k\)，\(c\) 初始化为 \(1\)，\(k\) 初始化为要插入的值。
- 寻找最小的 \(r\) 使得 \(P_{(c, r)} > k\)。
- 若不存在这样的 \(r\)，那么将 \(k\) 插入第 \(c\) 行的末尾定满足要求。插入后结束程序。
- 反之，交换 \(k\) 与 \(P_{(c, r)}\)，并将 \(c\) 自增 \(1\)，判断是否越界。
- 若不存在第 \(c\) 行，则新建一行，将 \(k\) 作为 \(P_{(c, 1)}\)。
- 反之，执行 \(2.\) 操作。
同样，可以定义 \(k \rightarrow P\) 为将 \(k\) 自第一列插入 \(P\) 的操作，称其为一次列插入。
下面就可以描述 RSK 算法的程序了。取排列 \(\pi \in \mathcal S_n\)，我们需要构造一个近似杨表对序列 \((P_0, Q_0), (P_1, Q_1), \dots, (P_n, Q_n)\)，使得 \(P_i, Q_i\) 为两个近似杨表，且均包含 \(i\) 个方格。RSK 算法需要执行如下的程序：
- 初始时，令 \((P_0, Q_0) = (\varnothing, \varnothing)\)。随后执行 \(n\) 轮如下操作。
- 第 \(i\) 轮时：
- \(P_i \leftarrow (P_{i - 1} \leftarrow \pi_i)\)
- 将 \(i\) 插入 \(Q_{i - 1}\) 得到 \(Q_i\)，使得 \(P_i, Q_i\) 形状相同。（注意：此处不是行插入）
- 返回 \((P_n, Q_n)\) 作为所需的杨表对 \((P_\pi, Q_\pi)\)。
由于 \(i\) 插入的位置必定为角落，因此 \(Q_n\) 必定为杨表。
令 \(A_{n} = \{(P, Q) \mid \text{sh}(P) = \text{sh}(Q) = \lambda, \lvert \lambda \rvert = n\}\)。通过这一程序，我们自然能得到 \(\mathcal S_n \to A_n\)。反过来怎么做呢？我们可以把行插入也反过来，得到行删除。
令当前的表对为 \((P,Q)\)，我们要删除 \(Q\) 中的 \(t\)，只需要执行以下操作：
- 执行过程中，维护当前行变量 \(c\) 与当前值变量 \(k\)，\(c\) 初始化为 \(t\) 所在行的上一行，\(k\) 初始化为 \(P\) 中 \(t\) 对应位置。
- 寻找第 \(c\) 行中比 \(k\) 大的最小元素 \(k'\)，交换 \(k\) 与 \(k'\)，并将 \(c\) 自减 \(1\)，判断是否越界。
- 若 \(c = 0\)，返回 \(k\) 作为 \(\pi_t\)。
- 反之，执行 \(2.\) 操作。
将如上的行删除倒序执行（即先删除 \(n\)），我们就得到了其对应的排列。\(\square\)
那么，我们如何计算 \(\sum_{\lambda \vdash n} f^\lambda\) 呢？仍然可以考察 RSK 算法，我们知道这时只需要 \(P = Q\)，并计数对应的 \(\pi\) 即可。
注意到 \(\pi \leftrightarrow (P, Q)\) 那么 \(\pi^{-1} \leftrightarrow (Q, P)\)。这时我们知道 \(\pi = \pi^{-1}\)，也就是 \(\pi^2 = 1\)，对应的 \(\pi\) 即 \(n\) 阶对合，其只有大小为 \(1,2\) 的置换环。
知道了这一性质后，计数就变得简单了。令 \(\mathcal C\) 为大小为 \(1, 2\) 的置换环的有标号类，那么 \(n\) 阶对合的有标号类即为 \(\text{Set}(\mathcal C)_n\)。这就是 \([x^n] \exp (x + x^2 /2)\)。你当然可以提取这个系数，可以知道这就是
\[\sum_{\lambda \vdash n} f^\lambda = \sum_{k \ge 0} \binom{n}{2k} (2k - 1)!! \]未免有点太不好看了吧？
\(4.\) 应用
首先不可不提的是 LIS（最长上升子序列）和 LDS（最长下降子序列）的刻画。
对排列 \(\pi\)，知道 \(P_\pi\) 第一行的长度就是 \(\pi\) 的 LIS 长度。做过 LIS 题的都知道，只看第一行，这过程和 \(O(n\log n)\) 求 LIS 长度的方法本质相同，而这方法得到的不一定是 LIS 本身。
\(\textbf{引理 1 } \text{(C. Schensted, 1961)}\)
对一个近似杨表 \(S\) 与两个元素 \(x, y\)，有
\[(x\rightarrow S) \leftarrow y = x\rightarrow (S \leftarrow y) \]
证明：繁，见 Schensted 原论文 Lemma 6。\(\square\)
根据该引理，对排列 \(\pi\)，若翻转 \(\pi\) 得到 \(\mu\)，那么 \(P_{\mu}\) 即为 \(P_{\pi}\) 翻转行列后的杨表。同时由于 \(\pi\) 的 LDS 就是 \(\mu\) 的 LIS，知道这值就是 \(\ell(\text{sh}(P_\pi))\)。
待补。
References:
\([1]\): yfz, 浅谈杨氏矩阵在信息学竞赛中的应用;
\([2]\): OI wiki, 杨氏矩阵;
\([3]\): Ron M. Adin et al., Enumeration of Standard Young Tableaux;
\([4]\): Curtis Greene, Albert Nijenhuis, and Herbert S. Wilf, A Probabilistic Proof of a Formula for the Number of Young Tableaux of a Given Shape.