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高等数学:曲线曲率推导

时间:2024-07-07 22:53:41浏览次数:12  
标签:frac 导数 推导 曲率 模长 mathbf dt 高等数学 向量

https://www.youtube.com/watch?v=8aHUrjgF6s0

给定一个向量函数\(( \mathbf{s}(t) )\),
它的导数是\(( \mathbf{s}'(t) = \frac{d\mathbf{s}}{dt} )\),
而单位切向量是\(( \mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{s}'(t)}{||\mathbf{s}'(t)||} )\)。
这里的单位切向量\(( \mathbf{T}(t) )\)指向曲线在点t处的切线方向,并且其长度为1。这和\(\mathbf{s}'(t)\)并不完全相等,因为后者可能有任意的长度,而前者被规范化了。


对于向量函数 \((\mathbf{s}(t))\) 的单位切向量 \((\mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{s}'(t)}{||\mathbf{s}'(t)||})\),其导数 \((\frac{d\mathbf{T}}{dt})\) 描述了单位切向量随时间 (t) 的变化率,即切向量方向或大小的变化速度。

计算 \((\frac{d\mathbf{T}}{dt})\) 需要应用链式法则和商法则,考虑到 \((\mathbf{T}(t))\) 是 \((\mathbf{s}'(t))\) 和其模长 \((||\mathbf{s}'(t)||)\) 的函数。具体地,我们有:

\([ \mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{s}'(t)}{||\mathbf{s}'(t)||} ]\)

对两边同时求导得:

\([ \frac{d\mathbf{T}}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\mathbf{s}'(t)}{||\mathbf{s}'(t)||}\right) ]\)

这涉及到 \((\mathbf{s}'(t))\) 的导数 \((\mathbf{s}''(t))\) 以及 \((||\mathbf{s}'(t)||)\) 的导数。由于 \((||\mathbf{s}'(t)||)\) 是一个标量,其导数涉及向量的模长对向量自身的导数,这通常会引入额外的项,如向量的方向和模长的变化率。

\((\frac{d\mathbf{T}}{dt})\) 的具体表达式依赖于 \((\mathbf{s}(t))\) 的具体形式,但通常它会涉及到曲率 \((\kappa(t))\) 和法向量 \((\mathbf{N}(t))\) 的概念,其中 \((\mathbf{N}(t))\) 是单位切向量 \((\mathbf{T}(t))\) 在点 (t)$ 处的单位法向量。

在许多情况下,\((\frac{d\mathbf{T}}{dt})\) 可以表示为 \((\kappa(t)\mathbf{N}(t))\),其中 \((\kappa(t))\) 是曲线在点 (t)$ 处的曲率。

因此,\((\frac{d\mathbf{T}}{dt})\) 的确切值需要根据具体的向量函数 \((\mathbf{s}(t))\) 来确定。


给定 \(\mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{s}'(t)}{||\mathbf{s}'(t)||}\),\(\frac{d\mathbf{T}}{dt}\) 的计算涉及到链式法则和商法则的使用

\([ \frac{d\mathbf{T}}{dt} = \frac{\mathbf{s}''(t)||\mathbf{s}'(t)|| - \mathbf{s}'(t)\left(\mathbf{s}'(t) \cdot \mathbf{s}''(t)\right)}{||\mathbf{s}'(t)||^3} ]\)

这里,分子的第一部分是 \((\mathbf{s}''(t))\) 乘以其模长,代表加速的方向;
第二部分是 \((\mathbf{s}'(t))\) 与 \((\mathbf{s}''(t))\) 点积的结果,乘以 \((\mathbf{s}'(t))\),表示速度向量在加速方向上的投影。分母是 \((\mathbf{s}'(t))\) 模长的三次方,用于保证结果仍然是单位向量。

标签:frac,导数,推导,曲率,模长,mathbf,dt,高等数学,向量
From: https://www.cnblogs.com/nolca/p/18289066

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