标签：lfloor begin end XKerror sum 笔记 pmatrix 数学 定理
组合数学
帕斯卡定理
\[\begin{pmatrix} m \\ n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n-1 \\ m-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n-1 \\ m \end{pmatrix}
\]
对称性
\[\begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ n-m \end{pmatrix}
\]
上指标求和
\[\sum ^{n}_{i=0}\begin{pmatrix} i \\ m \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n+1 \\ m+1 \end{pmatrix}
\]
范德蒙德卷积
\[\sum ^{k}_{i=0}\begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} m \\ k-i \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n+m \\ k \end{pmatrix}
\]
上指标卷积
\[\sum ^{n}_{i=0}\begin{pmatrix} i \\ a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} n-i \\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n+1 \\ a+b+1 \end{pmatrix}
\]
Lucas 定理
\[\begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lfloor \dfrac{n}{p}\rfloor \\ \lfloor \dfrac{m}{p}\rfloor \end{pmatrix}\begin{pmatrix} nmodp \\ mmodp \end{pmatrix}\left( modp\right)
\]
二项式定理
\[\left( x+y\right) ^{n}=\sum ^{n}_{i=0}\begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix}x^{n-i}y^{i}
\]
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