文章目录
介绍
我只整理了一些比较关键的、考试可能会考的点（拉普拉斯变换后面那些我们考试不用考，所以就没整理），希望对大家有所帮助！
一、导论
信号 x ( t ) → 系统 h ( t ) → 响应 y ( t ) 信号x(t) \rightarrow 系统h(t) \rightarrow 响应y(t) 信号x(t)→系统h(t)→响应y(t)
信号分类
连续：模拟信号 / 时域连续信号 自变量和函数值都取连续值
离散：时域离散信号 自变量离散，函数值连续
数字信号 — 幅度量化了的时域离散信号
函数值幅值量化后变离散，如 0.64 -> 0.101 用二进制编码表示
连续信号经过抽样得到离散信号，离散信号经过幅值量化才得到数字信号
周期问题
2 π w \frac{2\pi}{w} w2π为整数，周期为 2 π w \frac{2\pi}{w} w2π
2 π w \frac{2\pi}{w} w2π是有理数， 2 π w = P Q \frac{2\pi}{w} = \frac{P}{Q} w2π=QP P Q 互为素数，周期为P
2 π w \frac{2\pi}{w} w2π为无理数，不是周期序列
能量信号和功率信号
能量有界，能量有限信号，功率 P = 0
功率有界，功率有界信号，能量 E = ∞
连续符号是积分，离散符号是累加
系统的线性判断
线性需要满足以下三个条件：
1 可分解性 分解为： y z i y_{zi} yzi (y zero input) 零输入响应 + y z s y_{zs} yzs (y zero status) 零状态响应
y z i y_{zi} yzi f ( t ) = 0 f(t) = 0 f(t)=0
y z s y_{zs} yzs x ( 0 ) = 0 x(0) = 0 x(0)=0
如果是 x ( 0 ) ⋅ f ( t ) x(0) · f(t) x(0)⋅f(t) 这种乘积形式，显然不可分解，肯定非线性
2
y
z
i
y_{zi}
yzi 线性 3
y
z
s
y_{zs}
yzs 线性 判断线性：要满足 均匀性 + 可加性
均匀性 k x ( t ) = k y ( t ) kx(t) = ky(t) kx(t)=ky(t) 输入增加k倍，输出也增加k倍
可加性 x 1 ( t ) + x 2 ( t ) = y 1 ( t ) + y 2 ( t ) x1(t) + x2(t) = y1(t) + y2(t) x1(t)+x2(t)=y1(t)+y2(t) 对应成比例
整体判断 a x 1 + b x 2 = a y 1 + b y 2 ax1 + bx2 = ay1 + by2 ax1+bx2=ay1+by2
时变，时不变系统
针对零状态响应，只与激励有关
判断方法： 当输入 x ( t − t 0 ) x(t-t_0) x(t−t0) 时， 输出 t ( t − t 0 ) t(t-t_0) t(t−t0) 时不变
若式子中的 t 只在 f ( t ) f(t) f(t) 中，那么时不变，如 f ( t ) 2 f(t)^2 f(t)2
若有 g ( t ) f ( t ) g(t)f(t) g(t)f(t) t f ( t ) tf(t) tf(t) 等形式，那么时变
对于其他复杂形式：
t 0 t_0 t0 这个行为对于右边两种情况： y中的t，变的是t本身， f(t)中的t，变的是括号( )内
比如 f ( − t ) f(-t) f(−t) y 中的 t 对应 f ( − ( t − t 0 ) ) f ( -( t-t_0 ) ) f(−(t−t0)) f( ) 中的 t 对应 f ( − t − t 0 ) f ( -t - t_0 ) f(−t−t0) 因此为时变
比如 f ( t 3 ) f(\frac{t}{3}) f(3t) y 中的 t 对应 f ( t − t 0 3 ) f ( \frac{t-t_0}{3} ) f(3t−t0) f( ) 中的 t 对应 f ( t 3 − t 0 ) f ( \frac {t}{3} - t_0 ) f(3t−t0) 因此为时变
因果系统判断
先有输入，才有输出，即 t ( i n ) ⩽ t ( o u t ) t(in) \leqslant t(out) t(in)⩽t(out) 才正确
特例：如果没给出 t > 0 的前提条件，需要先进行分类讨论
记忆性系统判断
当前输出只取决于当前输入，无记忆；
取决于之前输入，有记忆；
取决于之后输入，啥也不是 …
稳定性系统判断
当输入有界时，输出也有界，则系统稳定
二、信号时域分析
阶跃函数
μ ( t ) \mu(t) μ(t) 0 跳到 1
冲激函数
δ ( t ) \delta(t) δ(t) 类似阶跃函数的导数，积分（面积） = 1，仅在0时刻有值，其他地方的y均=0
取样性质
f ( t ) δ ( t ) = f ( 0 ) δ ( t ) ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) δ ( t ) d t = f ( 0 ) ∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) d t = f ( 0 ) f ( t ) δ ( t − t 0 ) = f ( t 0 ) δ ( t − t 0 ) ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) δ ( t − t 0 ) d t = f ( t 0 ) ∫ − ∞ + ∞ δ ( t − t 0 ) d t = f ( t 0 ) f(t) \delta(t) = f(0) \delta(t) \\ \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \delta(t) dt = f(0) \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t) dt = f(0) \\ f(t) \delta(t-t_0) = f(t_0) \delta(t-t_0) \\ \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \delta(t-t_0) dt = f(t_0) \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-t_0) dt = f(t_0) f(t)δ(t)=f(0)δ(t)∫−∞+∞f(t)δ(t)dt=f(0)∫−∞+∞δ(t)dt=f(0)f(t)δ(t−t0)=f(t0)δ(t−t0)∫−∞+∞f(t)δ(t−t0)dt=f(t0)∫−∞+∞δ(t−t0)dt=f(t0)
四种特性
没有积分就是筛选特性，有积分就是抽样特性
1 筛选特性
f ( t ) δ ′ ( t − t 0 ) = f ( t 0 ) δ ′ ( t − t 0 ) − f ′ ( t 0 ) δ ( t − t 0 ) { f(t) {\delta}'(t-t_0) = f(t_0) {\delta}'(t-t_0) - {f}'(t_0)\delta (t-t_0)} f(t)δ′(t−t0)=f(t0)δ′(t−t0)−f′(t0)δ(t−t0)
函数 * 冲激函数 = t 0 t_0 t0 位置的值，在求冲激响应时会用到！
2 抽样特性
注意：冲击偶后面要求导 + 变号，冲激就只是取样性质而已
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
δ
′
(
t
−
t
0
)
d
t
=
−
f
′
(
t
0
)
\int_{-\infty}^{\infty} f(t){\delta}'(t-t_0)dt = -{f}'(t_0)
∫−∞∞f(t)δ′(t−t0)dt=−f′(t0)
相乘的积分 = 在 t 0 t_0 t0 位置的值
3 展缩特性
0阶导（就是正常没导数的情况）
δ
(
a
t
)
=
1
∣
a
∣
δ
(
t
)
(
a
≠
0
)
{\delta}(at) = \frac{1}{\left | a \right |} {\delta}(t) \quad\quad {\small (a \neq 0) }
δ(at)=∣a∣1δ(t)(a=0)
n阶导
δ
(
n
)
(
a
t
)
=
1
a
n
∣
a
∣
δ
(
n
)
(
t
)
(
a
≠
0
)
{\delta}^{(n)}(at) = \frac{1}{a^n \left | a \right |} {\delta}^{(n)}(t) \quad\quad {\small (a \neq 0) }
δ(n)(at)=an∣a∣1δ(n)(t)(a=0)
一般情况
δ
(
a
t
+
b
)
=
1
∣
a
∣
δ
(
t
+
b
a
)
(
a
≠
0
)
{\delta}(at + b) = \frac{1}{\left | a \right|} {\delta}(t + \frac{b}{a}) \quad\quad {\small (a \neq 0) }
δ(at+b)=∣a∣1δ(t+ab)(a=0)
δ ′ ( a t + b ) = 1 a ∣ a ∣ δ ′ ( t + b a ) ( a ≠ 0 ) {\delta}'(at + b) = \frac{1}{a \left | a \right |} {\delta}'(t + \frac{b}{a}) \quad\quad {\small (a \neq 0) } δ′(at+b)=a∣a∣1δ′(t+ab)(a=0)
at 的系数 a 可以提到外面，当 a = -1 时，冲激信号是偶函数
4 卷积特性
西电讲解 推导公式
f
(
t
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
τ
)
δ
(
t
−
τ
)
d
τ
f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau
f(t)=∫−∞∞f(τ)δ(t−τ)dτ
卷积定义式
δ
→
g
\delta \rightarrow g
δ→g 是信号变为零状态响应的变形推导
f
(
t
)
=
f
(
t
)
∗
g
(
t
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
τ
)
g
(
t
−
τ
)
d
τ
f(t) = f(t) * g(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau
f(t)=f(t)∗g(t)=∫−∞∞f(τ)g(t−τ)dτ
卷积公式 函数与冲激信号的卷积 = 函数 t-t0 延时
卷积作用
系统函数取反，然后从左边根据时间 t 不断向右挪，然后和自变量x(t)相乘求积分，这就是卷积，以及其应用。
冲激偶函数
δ ′ ( t ) {\delta}'(t) δ′(t) 冲激函数的导数
奇函数性质
冲激函数是偶函数，所以冲激偶函数是奇函数（好绕，不知道为什么要这么取名字…）
δ ′ ( − t ) = − δ ′ ( t ) {\delta}'(-t) = -{\delta}'(t) δ′(−t)=−δ′(t)
公式
f ( t ) δ ′ ( t ) = f ( 0 ) δ ′ ( t ) − f ′ ( 0 ) δ ( t ) f ( t ) δ ′ ( t − t 0 ) = f ( t 0 ) δ ′ ( t − t 0 ) − f ′ ( t 0 ) δ ( t − t 0 ) ( 筛选特性 ) f(t) {\delta}'(t) = f(0) {\delta}'(t) - {f}'(0)\delta (t) \quad\quad \\ \quad\quad\quad\quad f(t) {\delta}'(t-t_0) = f(t_0) {\delta}'(t-t_0) - {f}'(t_0)\delta (t-t_0) \quad\quad (筛选特性) f(t)δ′(t)=f(0)δ′(t)−f′(0)δ(t)f(t)δ′(t−t0)=f(t0)δ′(t−t0)−f′(t0)δ(t−t0)(筛选特性)
推导与证明
[ f ( t ) δ ( t ) ] ′ = f ( t ) ′ δ ( t ) + f ( t ) δ ( t ) ′ f ( t ) δ ( t ) ′ = [ f ( t ) δ ( t ) ] ′ − f ( t ) ′ δ ( t ) 由冲激函数性质 : f ( t ) δ ( t ) = f ( 0 ) δ ( t ) 因此将 f ( t ) 中的 t 代换成 0 , 得 : f ( t ) δ ( t ) ′ = [ f ( 0 ) δ ( t ) ] ′ − f ( 0 ) ′ δ ( t ) = f ( 0 ) δ ′ ( t ) − f ′ ( 0 ) δ ( t ) {[f(t)\delta(t)]}' = {f(t)}'\delta(t) + f(t){\delta(t)}' \\ f(t){\delta(t)}' = {[f(t)\delta(t)]}' - {f(t)}'\delta(t) \\ 由冲激函数性质: f(t)\delta(t) = f(0)\delta(t) \\ 因此将f(t)中的t代换成0,得: \\ f(t){\delta(t)}' = {[f(0)\delta(t)]}' - {f(0)}'\delta(t) \\ = f(0){\delta}'(t) - {f}'(0)\delta(t) [f(t)δ(t)]′=f(t)′δ(t)+f(t)δ(t)′f(t)δ(t)′=[f(t)δ(t)]′−f(t)′δ(t)由冲激函数性质:f(t)δ(t)=f(0)δ(t)因此将f(t)中的t代换成0,得:f(t)δ(t)′=[f(0)δ(t)]′−f(0)′δ(t)=f(0)δ′(t)−f′(0)δ(t)
斜坡信号
r ( t ) r(t) r(t) 类似于ReLU，在单纯的 f ( t ) f(t) f(t)情况下就是ReLU
但是 r ( t ) r(t) r(t) 可以平移和伸缩，右半部分是 k x + b kx + b kx+b 这个形式
三、系统时域分析
连续时间LTI系统的响应
微分方程求解和高数一样，注意自变量x换成t，u(t)=1 (t>0) 就行
注意例题（重点）
离散时间LTI系统的响应
差分方程求解，积分变累加
注意例题（重点）
固有响应：本来就有的响应（后面和特征根匹配的）
强迫响应：外界输入的
暂态响应：暂时的，k趋于无穷大时，值趋于0的项
稳态响应：稳定的，k趋于无穷大时，值不趋于0的项
四、周期频域分析
三角形式的傅里叶级数
f ( t ) 分为：直流 + 基波 + 谐波分量 f(t)分为：直流 + 基波 + 谐波分量 f(t)分为：直流+基波+谐波分量
n = 1：基波分量 n > 1：谐波分量
f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ( 2 π n t T ) + b n sin ( 2 π n t T ) ) f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \left( \frac{2\pi n t}{T} \right) + b_n \sin \left( \frac{2\pi n t}{T} \right) \right) f(t)=2a0+n=1∑∞(ancos(T2πnt)+bnsin(T2πnt))
a 0 = 2 T ∫ 0 T f ( t ) d t a_0 = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt a0=T2∫0Tf(t)dt
a n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) cos ( 2 π n t T ) d t for n ≥ 1 a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cos \left( \frac{2\pi n t}{T} \right) dt \quad \text{for } n \geq 1 an=T2∫0Tf(t)cos(T2πnt)dtfor n≥1
b n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) sin ( 2 π n t T ) d t for n ≥ 1 b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sin \left( \frac{2\pi n t}{T} \right) dt \quad \text{for } n \geq 1 bn=T2∫0Tf(t)sin(T2πnt)dtfor n≥1
若函数 f ( t ) 的周期为 : 2 π ，即 T = 2 π ，则傅里叶级数可以简化为： 若函数 f(t) 的周期为: 2\pi，即 T = 2\pi ，则傅里叶级数可以简化为： 若函数f(t)的周期为:2π，即T=2π，则傅里叶级数可以简化为：
f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ( n t ) + b n sin ( n t ) ) f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nt) + b_n \sin(nt) \right) f(t)=2a0+n=1∑∞(ancos(nt)+bnsin(nt))
相应的系数 ( a n ) 和 ( b n ) 的计算公式变为： 相应的系数 ( a_n ) 和 ( b_n ) 的计算公式变为： 相应的系数(an)和(bn)的计算公式变为：
a 0 = 1 π ∫ − π π f ( t ) d t a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) dt a0=π1∫−ππf(t)dt
a n = 1 π ∫ − π π f ( t ) cos ( n t ) d t for n ≥ 1 a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos(nt) dt \quad \text{for } n \geq 1 an=π1∫−ππf(t)cos(nt)dtfor n≥1
b n = 1 π ∫ − π π f ( t ) sin ( n t ) d t for n ≥ 1 b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin(nt) dt \quad \text{for } n \geq 1 bn=π1∫−ππf(t)sin(nt)dtfor n≥1
信号为偶函数，不含正弦项
信号为奇函数，不含直流和余弦项
半波对称函数，傅里叶级数只含偶次谐波，又称偶谐函数
半波镜像对称函数，傅里叶级数只含奇次谐波，又称奇谐函数
指数形式的傅里叶级数
假设 f ( t ) f(t) f(t) 是一个周期为 T T T 的周期信号，即 f ( t ) = f ( t + T ) f(t) = f(t + T) f(t)=f(t+T)。它可以表示为：
f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ C n e j n ω 0 t f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{j n \omega_0 t} f(t)=n=−∞∑∞Cnejnω0t
傅里叶级数系数 C n C_n Cn 可以通过以下公式计算得到：
C n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − j n ω 0 t d t C_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-j n \omega_0 t} \, dt Cn=T1∫0Tf(t)e−jnω0tdt
C n C_n Cn也可以不用算啊， 如果题目给了 f ( t ) f(t) f(t)的话，直接欧拉公式然后看出来啊，然后画频谱图就行
频谱图公式：
C
n
=
∣
C
n
∣
e
j
ϕ
n
C_n = \left | C_n \right | e^{j\phi n}
Cn=∣Cn∣ejϕn
很明显可以直接看出来
ϕ
\phi
ϕ 是什么东西，到时两个图横坐标都是
w
w
w，纵坐标一个
∣
C
n
∣
|C_n |
∣Cn∣ ，一个
ϕ
\phi
ϕ
注意：如果 C n C_n Cn已经是实数了（没有 j ）而不是复数，那么就没有两个图，画一个纵坐标为 C n C_n Cn的就行！
五、非周期频域分析
傅里叶变换
正变换：时域 → \rightarrow → 频域
反变换：频域 → \rightarrow → 时域
F(jw)称为f(t)的傅里叶变换，或频谱密度函数，简称频谱。
F ( j ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j ω t d t F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt F(jω)=∫−∞∞f(t)e−jωtdt
f(t)称为F(jw)的傅里叶反变换或原函数，就是把指数形式的傅里叶级数变换成F(jw)的形式
f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( j ω ) e j ω t d ω f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(j\omega) e^{j\omega t} d\omega f(t)=2π1∫−∞∞F(jω)ejωtdω
下面是b站 张锦皓Roger up主整理的图
- 如果不是速成而是要好好学的话，我推荐看他的课程，主要是感觉他的题目过程讲解很细致清晰
连续时间傅里叶变换的性质
六、系统频域分析
时域：信号 x ( t ) → 系统 h ( t ) → 响应 y ( t ) x(t) \rightarrow 系统h(t) \rightarrow 响应y(t) x(t)→系统h(t)→响应y(t)
频域：信号 E ( j w ) → 系统 H ( j w ) → 响应 Y ( j w ) E(jw) \rightarrow 系统H(jw) \rightarrow 响应Y(jw) E(jw)→系统H(jw)→响应Y(jw)
- 省流：全换成大写，t 换成 jw
系统对信号的响应
e j ω 0 t → y ( t ) = H ( j ω 0 ) e j ω 0 t = ∣ H ( j ω 0 ) ∣ e j [ ω 0 t + ϕ ( ω 0 ) ] e^{j\omega_0t} \rightarrow y(t) = H(j\omega_0)e^{j\omega_0t} = \left | H(j\omega_0) \right | e^{j[\omega_0t + \phi(\omega_0)]} ejω0t→y(t)=H(jω0)ejω0t=∣H(jω0)∣ej[ω0t+ϕ(ω0)]
c o s ω 0 t → y ( t ) = ∣ H ( j ω 0 ) ∣ c o s [ ω 0 t + ϕ ( ω 0 ) ] cos\omega_0t \rightarrow y(t) = \left | H(j\omega_0) \right |cos[\omega_0t + \phi(\omega_0)] cosω0t→y(t)=∣H(jω0)∣cos[ω0t+ϕ(ω0)]
c o s ( ω 0 t + ϕ n ) → y ( t ) = ∣ H ( j ω 0 ) ∣ c o s [ ω 0 t + ϕ ( ω 0 ) + ϕ n ] cos(\omega_0t + \phi_n) \rightarrow y(t) = \left | H(j\omega_0) \right |cos[\omega_0t + \phi(\omega_0) + \phi_n] cos(ω0t+ϕn)→y(t)=∣H(jω0)∣cos[ω0t+ϕ(ω0)+ϕn]
标签：infty,pi,frac,t0,笔记,信号,delta,分享,omega From： https://blog.csdn.net/mydaily_/article/details/140244123