群的基本概念
给定一个集合 \(\text{G} = \{a, b, c, \cdots\}\) 以及一个运算符 *，满足以下性质：
- 封闭性：\(\forall a,b\in \text{G}, \exists c \in \text{G}, a * b=c\)
- 结合律：\(\forall a,b,c\in\text{G},(a*b)*c=a*(b*c)\)
- 单位元：\(\exists e\in\text{G},\forall a\in\text{G},a*e=e*a=a\)
- 逆元：\(\forall a\in\text{G},\exists b\in\text{G},a*b=b*a=e,记b=a^{-1}\)
则称集合 \(\text{G}\) 是在运算符 * 下是一个群，也可以简称为 \(\text{G}\) 是群
群的两个定理
- 如果 \((\text{G},*)\) 是一个群，则 \(\forall g\in\text{G},g*\text{G}=\text{G}*g=G\)，其中\(g*\text{G}=\{g*h|h\in\text{G}\}\)
- 如果 \((\text{G},*)\) 是一个群，\(\text{H}\) 是 \(\text{G}\) 的非空子集，且 \((H,*)\) 也是一个群，那么称 \(\text{H}\) 为 \(\text{G}\) 的一个子群
置换
概念：元素位置发生特定变化
\(\large{\binom{1,2,3,4}{3,2,4,1}}\)
\(1,2,3,4\) 变换之后变成了 \(3,2,4,1\)
不动点：若在置换时，某元素位置并不改变，则称该元素为该置换的不动点
\(\text{Burnside}\) 引理
\[N(\text{G},\text{C})=\frac{1}{|\text{G}|}\sum_{f\in\text{G}}{|\text{C}(f)|} \]\(\text{Burnside}\) 引理文字表述
对于一个置换 \(f\)，记 \(f\) 不动点个数为 \(\text{C}(f)\)，则（置换群）所有（方案数）置换等价类个数为所有 \(\text{C}(f)\) 的平均值
\(\text{Burnside}\) 引理人话表述
方案数等于每个置换不动点个数的平均值