（轨道公式）$$|G|=|G_x|\cdot|O_x|$$对于\(G\)在\(\Omega\)上的群作用，\(\forallx\in\Omega\)，定义\(O_x:=\{g(x)\midg\inG\}\)，称为\(x\)的\(G\)-轨道。定义\(G_x:=\{g\inG\midg(x)=x\}\)，称为\(x\)的稳定子群，它的确是\(G\)的子群。而轨道有如下性质

注意：博客园渲染不等号有点问题，如果你看到一个等号右下方飘着一根杠的话，那玩意其实是不等号，就像这样：\(\neq\)。群论/Burnside引理/Polya定理学习笔记。这是真的边学边记抄，根本记不住，看得昏昏欲睡的。我现在知道有什么东西是比062还抽象的了，抽象代数你抽象死我了。群

置换群/Polya原理/Burnside引理学习笔记在GJOI上做手链强化，经过长达三小时的OEIS和手推无果后开摆，喜提rnk12，故开始学习置换群相关内容。笔记主要以Polya原理和Burnside引理的应用为主，所以会非常简单，很大一部分的群论概念和证明不会写，因为我不会。基础群论定

我们详细重述并证明[1,Sec.1.2]中的Burnside定理及其相关推论．下面设V是复数域C上的有限维线性空间，B(V)是V上的线性变换代数；I是B(V)的单位元．Burnside定理证明较长．为使逻辑顺畅，先做一些准备工作．Lemma1设A是B(V)上的乘法半群，若A不可约，则对任意非零的x

为了防止明天就把好不容易听完的东西都还给rabbit_lb了，还是记一点吧。1.群论基础1.1群(group)的定义给定集合\(G\)和\(G\)上的二元运算\(\cdot\)，满足下列条件称之为群：封闭性：若\(a,b\inG\)，则\(a\cdotb\inG\)。结合律：对于任意\(a,b,c\inG\)，有\((a\cdotb)\cd

burnside引理|X/G|=1/|G|*∑|X^g|（不会打mkd）有一个A集合，一个B集合，X集合为所有A到B的映射（就是对于A的每个元素选择一个B集合的元素，比如给“正方体的面选颜色”，面是A集合，颜色是B集合，所有方案为集合X）G为A的置换群，包含若干对A的元素的置换操作左边：|X/G|表示在置换群G（的影响）下

Burnside定理问题：给定一个\(n\)个点，\(n\)条边的环，有\(m\)种颜色，给每个顶点染色，问有多少种本质不同的染色方案，答案对\(10^9+7\)取模注意本题的本质不同，定义为：只需要不能通过旋转与别的染色方案相同。题目初步解读我们考虑如果不要求本质不同只需要\(n^n\)。但因为

置换群Burnside定理和Polya计数都需要运用置换群的知识置换群主要有三种运算，分别是合成运算、恒等置换、置换的逆运用着三种运算就可以推导出Burnside定理和Polya计数的公式Burnside定理Burnside定理的主要应用是循环排列计数、项链计数、正五角形着色等下面给出一道例题P

定义群：\((S,\circ)\)，集合\(S\)和二元运算\(\circ\)，其中\(\cdot\)满足：封闭性；结合律；存在单位元\(e\)；任意元素\(a\)存在逆元\(a^{-1}\)．若仅满足存在左单位元和左逆元，可证左右单位元/逆元唯一且相等。交换群/阿贝尔群：满足交换律的群。半群：运算仅要求封闭性和结合律。

之前学Burnside一直没能深入本质，这回与可爱的QYB学弟讨论了一下Burnside引理的证明，做一个记录。前置知识：群的定义。一、等价染色方案计数问题对于一种染色方案组

破烂衣裳题目链接：YBT2023寒假Day15A题目大意有一个n个点的环，有k种颜色，一开始都没有颜色。每次你可以选择一个位置，把它染成k种颜色的其中一个，但是相邻的两个位置

不想写很多冗杂的群论定义，所以本博客不是用来入门的。概要对于一个作用在集合\(X\)上的有限群\(G\)，对于每个\(g\inG\)令\(X^g\)表示\(X\)在\(g\)作用下的不

群论笔记Burnside引理\[置换后本质不同的数量=\frac{1}{置换方式总数}\times所有置换后与原来相同的构造方案\]注意：单位元也是置换Polya定理举例说明。考虑立方体

群群的定义给定集合\(G\)和二元运算\(\cdot\)满足如下性质：封闭性：\(\foralla,b\inG\)，有\((a\cdotb)\inG\)结合律：\(\foralla,b,c\inG\)，有\((a\cdotb)\cdot

Burnside引理设\(A\)和\(B\)为有限集合，\(X\)为\(A\toB\)的一个映射集合，\(G\)是\(A\)上的一个置换群，\(X/G\)表示置换群\(G\)作用在\(X\)上产生的所有映射

为了方便，我们肯定是先考虑有标号图的个数，再用Burnside引理去重，但是用Burnside引理时得先考虑清楚映射集合\(X\)是哪个集合\(A\)到哪个集合\(B\)的哪些映射，以及作

​​http://www.elijahqi.win/archives/3388​​群论什么是群？元素和建立在元素上的二元运算构成的代数系统如何判定是否是一个群？要求满足四条群公理阶G中所含元素的

正题题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=7207题目大意一个序列\(a\)，和它相同的序列当且仅当能通过以下操作实现相同：将\(a_1\)丢到\(a_n\)，其余的向