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群论
什么是群？
元素和建立在元素上的二元运算构成的代数系统
如何判定是否是一个群？
要求满足四条群公理
阶
G中所含元素的个数称为群G的阶记为|G|
分有限无限群多种概念
群中元素的阶
在群G中,a∈G。如果有整数k，使ak=e a k = e ，那么使这个等式成立的最小正整数k叫做a的阶，记为k=|a|
(ak a k 表示连续k个a进行G中规定的运算，不是传统意义上的k个a相乘)
如果这样的k不存在，则称a的阶是无限的，记为a=+∞
消去律
逆元存在与消去律等价
逆元存在⇒
⇒
消去率存在
x⋅a=y⋅a
x
⋅
a
=
y
⋅
a
两边同时⋅
⋅
a−1
a
−
1
即可
消去率存在⇒
⇒
逆元存在
建立一个新的二元组(S′={x⋅a|x∈S},⋅)
(
S
′
=
{
x
·
a
|
x
∈
S
}
,
·
)
根据封闭性S′⊆S
S
′
⊆
S
因为消去率所以|S′|=|S|
|
S
′
|
=
|
S
|
即S’=S 因为e∈S
e
∈
S
所以e∈S′
e
∈
S
′
又因为定义了新的运算 故∃t∈S,t⋅a=e
∃
t
∈
S
,
t
⋅
a
=
e
拉格朗日定理
有限群(S,+)有子群(S’,+)
有|S|是|S’|的倍数
证明：
设一个子群 G′⊆G
G
′
⊆
G
就有陪集 G′a={x⋅a|x∈G′}a∈G
G
a
′
=
{
x
⋅
a
|
x
∈
G
′
}
a
∈
G
G′b={x⋅b|x∈G′}b∈G
G
b
′
=
{
x
⋅
b
|
x
∈
G
′
}
b
∈
G
若G′a⋂G′b!=∅
G
a
′
⋂
G
b
′
!
=
∅
则G′a=G′b
G
a
′
=
G
b
′
因为G′a⋂G′b!=∅
G
a
′
⋂
G
b
′
!
=
∅
∃x,y∈G′
∃
x
,
y
∈
G
′
使得x⋅a=y⋅b
x
⋅
a
=
y
⋅
b
a=x−1⋅y⋅b
a
=
x
−
1
⋅
y
⋅
b
∀z∈G′z⋅a=z⋅(x−1⋅y⋅b)
∀
z
∈
G
′
z
⋅
a
=
z
⋅
(
x
−
1
⋅
y
⋅
b
)
z⋅a=(z⋅x−1⋅y)⋅b
z
⋅
a
=
(
z
⋅
x
−
1
⋅
y
)
⋅
b
因为这时候a,b,x,y都是钦定好的 那么遍历z的时候都会有唯一的(z⋅x−1⋅y)
(
z
⋅
x
−
1
⋅
y
)
与之对应 所以恰好遍历G’ 所以得证
于是我们可以知道两个陪集要么相等要么不相交
然而我所有G′
G
′
的并是G
G
所以 假设|G′|=x|G′|=x
那么|G|
|
G
|
一定是x的倍数 所以得证
欧拉定理用拉格朗日定理的证明
设集合S={a1,a2,a3,...,aφ(n)}
S
=
{
a
1
,
a
2
,
a
3
,
.
.
.
,
a
φ
(
n
)
}
其中gcd(ai,n)=1
g
c
d
(
a
i
,
n
)
=
1
则S与模乘法形成的(S,×)
(
S
,
×
)
是群 证明 简单想象即可
那么设Si={1,ai,a2i,a3i..}
S
i
=
{
1
,
a
i
,
a
i
2
,
a
i
3
.
.
}
那么可知(Si,×)
(
S
i
,
×
)
是(S,×)
(
S
,
×
)
的子群
因群中元素互相做运算仍然是群中的元素
a|Si|≡1
a
|
S
i
|
≡
1
故 a|S|≡1 ,aφ(n)≡1
a
|
S
|
≡
1
,
a
φ
(
n
)
≡
1
轨道-稳定化子定理
考虑置换群G 其中每个元素是1~n的置换
G中使得元素x不变的置换构成一个子群
稳定stab(x)={f∈G|f(x)=x}
s
t
a
b
(
x
)
=
{
f
∈
G
|
f
(
x
)
=
x
}
x通过G中变换到的位置叫做称为轨道
orbit(x)={f(x)∈G}
o
r
b
i
t
(
x
)
=
{
f
(
x
)
∈
G
}
|orbit(x)|
|
o
r
b
i
t
(
x
)
|
实际是stab(x)的陪集数
因为考虑每个可以变换到的位置 使得|stab(x)|++
|
s
t
a
b
(
x
)
|
+
+
造出的陪集是 |orbit(x)|个即orbit(x)是不重复的陪集的个数
根据拉格朗日定理|orbit(x)|×|stab(x)|=|G|
|
o
r
b
i
t
(
x
)
|
×
|
s
t
a
b
(
x
)
|
=
|
G
|
置换 置换群
例如(1234 2314)
(
1
2
3
4
2
3
1
4
)
是一个置换但不是群 置换仅仅和每列相对应字符有关与自身列顺序无关
(3241) ( 3 2 4 1 )
经过如下置换
(12233144) ( 1 2 3 4 2 3 1 4 )
成为
(4321) ( 4 3 2 1 )
置换群将置换作为元素且满足群的性质
Burnside引理
该引理用于计算集合M关于置换群G的轨道数
定义两个元素是否本质质相同设两个元素x,y
∃f∈G
∃
f
∈
G
使得f(x)=y
f
(
x
)
=
y
那么x,y即是本质相同的
M的轨道数即 M中本质不同的元素个数
感觉本质不同的元素个数就是循环的个数
M中的轨道数可以记为∑x∈M1|orbit(x)|
∑
x
∈
M
1
|
o
r
b
i
t
(
x
)
|
因为可以考虑每个轨道中都有|orbit(x)|
|
o
r
b
i
t
(
x
)
|
个元素 然而每个元素对答案的贡献都会是1|orbit(x)|
1
|
o
r
b
i
t
(
x
)
|
直接带入轨道-稳定化子定理
原式=∑x∈M|stab(x)||G|
=
∑
x
∈
M
|
s
t
a
b
(
x
)
|
|
G
|
=∑x∈M|stab(x)||G|
=
∑
x
∈
M
|
s
t
a
b
(
x
)
|
|
G
|
那么我们计算的时候只需要得到stab(x)x∈M
s
t
a
b
(
x
)
x
∈
M
的个数即可
总结起来 集合M关于置换群G的轨道数等于G中每个置换下不动点的个数的平均数
但是这个似乎自己只会搜索 复杂度不够优秀
需要对每个置换计算这个置换下不变的方案个数
于是有polya计数法
Polya
公式：对一个置换p设c(p) 表示p中循环节个数
G是定义在X上的置换群 即项链或棋盘如果用m种颜色来染色 那么本质不同的方案数
∑x∈Gmc(x)|G|
∑
x
∈
G
m
c
(
x
)
|
G
|