群
群的定义
定义集合 \(\rm G\) 和作用与集合 \(\rm G\) 的二元运算 \(\times\)
若其满足以下 4 个性质，则称其为一个群\(( Group)\)，记为 \((~G,\times~)\)：
- 封闭性 \((\sf Closure)\)
若存在 \(a\) 和 \(b\) 满足 \(a\in G,b\in G\) ，则有 \(a\times b\in G\)
- 结合律 \((\sf Associativity )\)
对于任意 \(a,b,c\) 有 \((a\times b)\times c = a\times (b\times c)\)
- 单位元 \((\sf Identity)\)
存在 \(e\in G\)，满足对于任意 \(a\in G\) 有： \(a\times e = e\times a = a\)
这样的 \(e\) 被称为单位元。容易证明单位元唯一
\(\rm e.g:\) 实数的乘法运算就是一个群，模意义下的乘法运算（不包括 \(0\)）同样是一个群。这些例子中的单位元均为 \(1\)。
- 逆元 \((\sf Inverse)\)
对于任意 \(a\in G\) 存在 \(a'\in G\) 满足 \(a\times a' = a'\times a = e\)
值得注意的是这个 \(a'\) 是唯一的。读者可以尝试自行证明。
为了更好地理解我们举个例子。
操作集合 $ \rm G={\text{不动},\text{旋转} 90\degree ,\text{旋转}180\degree,\text{旋转} 270\degree} \text{(顺时针)} $ 就是一个群
读者可以根据上面的四条性质来检验。
置换
备注：一个充满魔法的科技。
一些定义
Two−linenotation
双行表示法，大概就是用两个括号括起来，然后令 "元素/置换" 表示一个从【上列】 到 【下列】 的置换。
比如：
其表示的置换为将排列 \(1~2~3~4~5\) 变为 \(2~5~4~3~1\) 的一个置换，可以理解为用原本第二个元素代替第一个元素，用原本的第 \(5\) 个元素代替第 \(2\) 个元素...依次类推。
每个置换都是一个这样的排列，一个长度为 \(n\) 的不同的置换的数量为 \(n!\)。
我们把它换成更一般的形式
这个置换其实就是我们前面讲群的时候所说的一种操作，这种操作表示的含义是将原来的序列中，所有元素 \(i\) 变成元素 \(p_i\)
Polya 定理
对于一个 \(n\) 阶置换
我们可以找到其中若干循环节。
循环节:
我们记 \(i->a_i\) 为一次变换,若 \(i\) 经过 \(k\) 次变换后等于 \(i\),且任何小于 \(k\) 次的变换均不为 \(i\)
那么我们找到了一个大小为 \(k-1\) 的循环节
显然一个 \(n\) 阶置换最多有 \(n\) 个循环节,最少 \(1\) 个循环节,并且每个数只存在于一个循环节内
举个例子:
其中后面用多个括号组合成的表达式,其每对括号内的数形成一个循环节
计数公式:
\[L=\frac{1}{|G|}(m^{c(g_1)}+m^{c(g_2)}+m^{c(g_3)}+\cdots+m^{c(g_s)}) \]解释一下
\(L\)：计数结果
\(G\)：置换群
\(|G|\)：置换群的置换数,即ss,表示总共有ss种置换方式
\(m\)：对于 \(n\) 阶置换,表示置换操作前,\(n\) 种元素每个元素的取值,或者理解为每个点的染色方式,共 \(m\) 种
\(g_i\)：表示单个置换,为 \(G\) 中的元素
\(c()\)：函数,返回每个置换中的循环节数
标签：text,置换,元素,times,初步,循环,群论,rm From： https://www.cnblogs.com/ycw123/p/16757911.html以上为 \(Polya\) 定理